Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

1. Newtonsche Mechanik 20
in MM begegnet, wir erinnern uns an ihre Eigenschaft
∫
∫
dx ′ δ(x ′ − x)f(x ′ ) = f(x), dx ′ δ(x ′ − x) = 1, Deltafunktion in d = 1 .(1.101)
Analog hat man in d > 1 Dimensionen in kartesischen Koordinaten einfach Produkte
von Deltafunktionen
∫
r = (x 1 ,...,x d ), δ d (r) = δ(x 1 ) · ... · δ(x d ) (1.102)
∫
d d r ′ δ d (r ′ − r)f(r ′ ) = f(r), d d r ′ δ 3 (r ′ ) = 1. (1.103)
Für ein System von Massenpunkten m i ist die entsprechende Dichte
ρ(r) ≡
N∑
m i δ(r − r i ) (1.104)
i=1
also einfach eine mit den Massen m i gewichtete Summe über Deltafunktionen. Eine
einzelne Punktmasse, die am Ort r i sitzt, hat mathematisch Dichte Null ausserhalb r i
und unendliche Dichte in r i , und zwar so, dass das räumliche Integral über die Dichte
gerade die Masse m i ergibt. Dieses ist ein außerordentlich nützliches Konzept nicht nur
in der Mechanik, sondern in allen Gebieten der Physik, wo mit Massen-, Ladungs- und
anderen Verteilungen operiert wird.
1.5.2 Newtonsches Gravitationsfeld
(z.B. WIKEPEDIA) Die Gravitationskraft zwischen einer Testmasse m und einer festen
Masse m i bei r i ist
r − r i
F(r) ≡ mg i (r), g i (r) = −Gm i
|r − r i | 3.
(1.105)
Wir bezeichnen das Vektorfeld g i (r) als Newtonsches Gravitationsfeld. Es wird von
der festen Masse erzeugt und beschreibt die Gravitationskraft pro Testmasse m. Wir
legen eine Kugel von Radius R um die feste Masse m i bei r i und integrieren über die
Kugeloberfläche
∫
dAg i (r) = −Gm i 4πR 2 1 R 2 = −4πGm i. (1.106)
Wir schreiben die rechte Seite als Volumenintegral über die Massendichte ρ i (r) = m i δ(r−
r i ) und benutzen den Gaußschen Integralsatz (siehe MM),
∫ ∫ ∫
− 4πG dV ρ i (r) = dAg i (r) = dV ∇ · g i (r). (1.107)
Das gilt für beliebige Radien R > 0, und wir folgern für die Divergenz des Gravitationsfeldes
divg i (r) = −4πGρ i (r). (1.108)