Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

2. Lagrange-Mechanik 32
Die eine Richtung des Beweises ist klar:
[ d
dt
∂
−
∂q˙
k
= d ∂M
−
dt ∂q k
∂ ] [ d d
∂q k dt M(q(t),t) = ∂
−
dt ∂q˙
k
∂ ∑
∂q k
l
∂M
∂q l
˙q l −
∂ ∂M
∂q k ∂t
∂ ] [ ∑
∂q k
l
∂M
∂q l
˙q l + ∂M ∂t
= ∑ ∂ ∂M
˙q l + ∂ ∂M
−
∂ ∑ ∂M
˙q l −
∂ ∂M
∂q l ∂q k ∂t ∂q k ∂q k ∂q l ∂q k ∂t
l
l
= 0 (2.47)
weil wir die Ableitungen vertauschen dürfen. Ende der einen Beweisrichtung, für die andere
Richtung vgl. STRAUMANN. Alternativ können wir auch mit dem Hamiltonschen
Prinzip argumentieren (LANDAU, FLIESSBACH): Für die beiden Wirkungsintegrale
gilt
∫ t2
∫ t2
S = dtL(q(t), ˙q(t),t) = dt
[L ′ (q(t), ˙q(t),t) + d ]
t 1
dt M(q(t),t)
t 1
= S ′ + M(q(t 2 ),t 2 ) − M(q(t 1 ),t 1 ) (2.48)
Wenn wir die Variationsableitungen berechnen, fallen die M-Terme weg, d.h es gilt
δS = δS ′ (2.49)
was zu denselben Lagrangegleichungen führt. Allerdings ist bei dieser Argumentation
M(q(t 2 ),t 2 ) − M(q(t 1 ),t 1 ) eigentlich kein Funktional - man ist mit Gl. (2.47) auf der
mathematisch sicheren Seite.
Zusammenfassend merken wir uns, dass der Zusatzterm d dtM(q(t),t) in der Eichtransformation
L → L ′ also für die Bewegungsgleichungen nichts ausmacht: er läßt die Bewegungsgleichungen
invariant.
2.3.5 Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld
Als AUFGABE!
2.4 Symmetrien und Noether-Theorem
Wir betrachten in der Lagrange-Funktion L(q(t), ˙q(t),t) eine Transformation h s der
verallgemeinerten Koordinaten,
h s : q(t) → Q(s,t), Q(s = 0,t) = q(t). (2.50)
]