Skript - Institut für Theoretische Physik - TU Berlin

3. Der Starre Körper 42
Fig. 3.1: Starrer Körper mit Schwerpunkt Q. Das System K ist fest, das System K ′ rotiert
gegenüber K. Die x i rotieren in K, die entsprechenden x ′ i sind in K′ zeitlich konstant.
wobei wir die Zentrifugalkraft in die Erdbeschleunigung mit hineindefiniert (STRAU-
MANN) bzw. als klein (LANDAU) vernachlässigt haben. Es gilt also
ẍ ′ + ω 2 x ′ = −2ω ′ × ẋ ′
ẍ ′ + ω 2 x ′ = 2Ω z ẏ ′
ÿ ′ + ω 2 y ′ = −2Ω z ẋ ′ , Ω z ≡ Ω sinλ. (3.29)
AUFGABE: 1. Wiederhole die Schritte der obigen Herleitung. 2. Löse dieses System für
Ω z ≪ ω: Zeige, dass man die Lösung als
x ′ (t) + iy ′ (t) = e −iΩzt (x ′ 0 (t) + iy′ 0 (t)) (3.30)
schreiben kann, wobei x ′ 0 (t) und y′ 0 (t) Gl. (3.28) erfüllen. 3. Diskutiere die Lösung.
3.2 Kinematik und Dynamik des Starren Körpers
3.2.1 Bezugssysteme K und K ′
Wir bezeichnen ein System aus N Massenpunkten m i als starren Körper, wenn der
allgemeine Bewegungszustand auf eine Schwerpunktsbewegung Q(t) und eine Rotationsbewegung
eingeschränkt ist, vgl. Figur 3.1
q i (t) = Q(t) + x i (t),
Q(t) ≡ 1 M
N∑
m i q i (t), Schwerpunkt Q(t) (3.31)
i=1
x i (t) = R(t)x ′ i, R(t) ∈ SO(3), x ′ i = const in K ′ . (3.32)
Hierbei ist M = ∑ N
i=1 m i die Gesamtmasse. Die Freiheitsgrade des starren Körpers sind
die drei Translationsfreiheitsgrade der Schwerpunktsbewegung Q(t) und die drei Rotationsfreiheitsgrade,
die in der Drehmatrix R(t) enthalten sind. Für die Geschwindigkeiten