Abschlussbericht

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Trusted Sensor Node
Untersuchungen der Operationen im Basisfeld für eine effiziente ECC-Implementierung
unumgänglich. Bei den Betrachtungen der mathematischen Grundlagen im Basisfeld der
elliptischen Kurve stellen sich insbesondere folgende Operationen als kritisch heraus:
• Feldmultiplikation
• modulare Reduktion.
2.14.2 Multiplizierer
Die Feldmultiplikation ist die mit Abstand aufwändigste Operation im Basisfeld. Eine 256-
Bit-Multiplikation benötigt zum Beispiel je über 65000 XOR- und AND-Operationen, wenn
sie nach der Methode der klassischen Schulmultiplikation ausgeführt würde. In der Literatur
werden verbesserte Verfahren wie die klassische Karatsuba-Multiplikation und die iterative
Karatsuba-Multiplikation vorgestellt [14]. Letztere verringert vor allem die Anzahl der
notwendigen AND-Operationen (auf 6561) aber kaum die Anzahl der XOR-Operationen
(62000). In dem Design wird eine rekursive Anwendung der iterativen Karatsuba-Methode
(RAIK) [39], die auch die Anzahl der XOR-Operationen (auf unter 43000) reduzieren
kann, genutzt. Bei den rekursiven Karatsuba-Methoden wird eine Multiplikation durch kleinere
Multiplikationen mit kürzerer Bitlänge ersetzt, die dann wiederum mit der Karatsuba-
Methode gelöst wird. Da festgestellt wurde, dass sich für kürzere Multiplikationen mit Bitlängen
von unter 8 Bit eine weitere rekursive Zerlegung nach der Karatsuba-Methode nicht
positiv auf den Gesamtaufwand auswirkt, werden für diese kurzen Multiplikationen andere
Verfahren angewandt. Als Beispiel sei hier die klassische Schulmultiplikation genannt,
wodurch der Gesamtaufwand für rekursive Multiplikation signifikant reduziert wird. Diese
theoretischen Betrachtungen der polynominellen Multiplikation sind die Basis für eine effiziente
Implementierung dieser Operation in Hardware, wie sie in dem Design realisiert
wurden. Der Ansatz ist detaillierter in [45] diskutiert.
2.14.3 Reduktion
Die zweite kritische Operation ist die Reduktion. Diese Operation muss nach jeder Feldmultiplikation
ausgeführt werden. Das ist begründet durch den finiten Charakter des Basisfeldes.
Die Multiplikation zweier m Bit langen Faktoren ergibt ein 2m-1 Bit langes Produkt
(siehe Abbildung 2.8). Da die Elemente des Feldes genau m Bit lang sind, muss zu dem
2m-1 Bit langen Element ein in dem Feld äquivalentes Element mit der Länge m berechnet
werden. Ein klassisches Verfahren für diese Operation ist die Division mit Rest durch das
Generatorpolynom, wobei der Rest der Division das äquivalente Element darstellt.
Ähnlich wie eine Division in „normalen“ Zahlensystemen ist auch die Division in GF(2 m )
sehr komplex und deshalb nach jeder Feldmultiplikation nicht sinnvoll. In der Literatur werden
Verfahren beschrieben, welche die Reduktion als eine einfache Abbildung mit konstantem
Aufwand herausstellen. Diese Verfahren können sowohl in Software- als auch
in Hardwareimplementierungen angewendet werden. Das Problem bei dieser Vorgehens-
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