Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

1. SCHRÖDINGERSCHE STÖRUNGSTHEORIE 13Oft berechnet man die Korrektur zweiter Ordnung zur Energie. Sieergibt sich zuE 2 = − ( (H 1 − E 1 )Ψ 0 , (H 0 − E 0 ) −1 (H 1 − E 1 )Ψ 0).(II.10)Ist E 0 die Grundzustandsenergie von H 0 , so ist E 2 ≤ 0, d.h. die Grundzustandsenergieist eine konkave Funktion von λ.Als Beispiel für die Anwendung der Störungstheorie betrachten wirdas Heliumatom, der Einfachheit halber wird der Kern als unendlichschwer angenommen. Der Hilbertraum der Zustandsvektoren ist (beiVernachlässigung des Spins)∫H = L 2 (R 6 ) = {Φ : R 3 × R 3 → C, d 2 x 1 d 3 x 2 |Φ(x 1 , x 2 )| 2 < ∞} .Der Hamiltonoperator istH = − 12m (∆ x 1+ ∆ x2 ) + α(− Z|x 1 | − Z|x 2 | + 1|x 1 − x 2 | )mit der Elektronenmasse m, der Kernladungszahl Z (= 2 für Helium)und der Feinstrukturkonstanten α ≈ 1 . Es ist zweckmäßig, dimensionslose137Koordinateny i = Z a x ieinzuführen, mit dem Bohrschen Radius a = (mα) −1 . Man findetH = 2RZ 2 (H 0 + λH 1 )mit der Rydbergkonstanten R = 1 2 mα2 = 13, 6 eV und λ = 1 Z ,undH 0 = − 1 2 (∆ y 1+ ∆ y2 ) − 1|y 1 | − 1|y 2 |H 1 =1|y 1 − y 2 | .Die physikalisch realisierbaren Werte von λ sind 1 Z , Z ∈ N (H− , He,Li + , Be ++ , . . .).Die Grundzustandswellenfunktion des ungestörten HamiltonoperatorsH 0 ist das Produkt der Wellenfunktionen ϕ 100 des Grundzustandsder Einteilchen-Hamiltonoperatoren − 1 2 ∆ − 1|y| ,ϕ 100 (y) = Ne −r , r = |y|, N > 0 Normierungsfaktormit der Grundzustandsenergie − 1 , daher ist die Grundzustandsenergie2von H 0E 0 = −1 .Das kontinuierliche Spektrum beginnt, wenn ein Teilchen im Grundzustandist und das andere im Kontinuum, also bei − 1 . Für Helium2z.B. ist die Grundzustandsenergie −2 · R · 2 2 = −108, 8eV und dieIonisationsenergie −54, 4eV.