Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

6 I. STRUKTUR DER QUANTENMECHANIKNach dem Satz von Weierstrass lässt sich jede stetige Funktion aufeinem kompakten Intervall der reellen Achse gleichmäßig durch Polynomeapproximieren. Da der Raum der selbstadjungierten Operatorenbezüglich der Operatornorm vollständig ist, gibt es zu jeder stetigenreellen Funktion f einen eindeutig bestimmten selbstadjungierten Operatorf(A). Dieser wird definiert durchf(A) = lim p n (A) ,wobei (p n ) eine beliebige Folge von Polynomen ist, die auf dem Spektrumvon A gleichmäßig gegen f konvergiert.Physikalisch werden die Punkte des Spektrums als die möglichenMessergebnisse interpretiert. Der Übergang zu einer Funktion des Operatorsist daher nichts anderes als eine Umparametrisierung der Messergebnisse.Zustände lassen sich als Präparationsvorschriften am zu untersuchendenSystem auffassen. Bei gegebener Observable liefern sie einWahrscheinlichkeitsmaß µ. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf R ist eineAbbildung µ von der Menge der Intervalle in das Einheitsintervall [0, 1]mit der Normierungsbedingung µ(R) = 1, sodass für eine höchstensabzählbar unendliche disjunkte Zerlegung eines Intervalls I = ⋃ Ni=1 I i,N ∈ N ∪ ∞, I i ∩ I j = ∅ für i ≠ j die Additivitätsbedingung (σ-Additivität) giltN∑µ(I) = µ(I i ) .(I.3)i=1µ(I) wird als die Wahrscheinlichkeit interpretiert, dass das betrachteteEreignis im Intervall I liegt. Mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsmaßeslassen sich Integrale stetiger beschränkter Funktionen f als Limitesvon Riemann-Summen erklären. Der Wert des Integrals wird als derErwartungwert der Zufallsvariablen f(x) interpretiert.Ein Wahrscheinlichkeitsmaß wird eindeutig durch die Erwartungswertealler stetigen Funktionen f charakterisiert,∫f(x)dµ(x) = 〈f〉(I.4)Die Wahrscheinlichkeit, dass der Messwert einer Observablen A im Intervall[a, b] liegt, ergibt sich alsµ([a, b]) = inf〈f(A)〉wobei das Infimum über alle nichtnegativen stetigen Funktionen f gebildetwird, die auf dem Intervall [a, b] gleich 1 sind.Für kommutierende Operatoren A, B gibt es dementsprechend einWahrscheinlichkeitsmaß auf R 2 , das durch die Erwartungswerte∫f(x, y)dµ(x, y) = 〈f(A, B)〉(I.5)charakterisiert wird.