Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

2. SYMMETRIEGRUPPEN 39Nach dem Theorem von Wigner gibt es dann zu jedem g ∈ G einenunitären oder antiunitären Operator V 0 (g), der bis auf eine Phase eindeutigbestimmt ist. Also giltV 0 (g 1 g 2 ) = ω(g 1 , g 2 )V 0 (g 1 )V 0 (g 2 )mit einem Phasenfaktor ω(g 1 , g 2 ). Ist ω = 1, so nennt man V 0 eine Darstellungvon G. Da V 0 (g) nur bis auf eine Phase bestimmt ist, kann manversuchen, den Faktor ω durch eine geeignete Wahl des Phasenfaktorszu vereinfachen. Setzt manV (g) = α(g)V 0 (g)mit einem Phasenfaktor α(g) ∈ C, |α(g)| = 1, so ergibt sichV (g 1 )V (g 2 ) = ω ′ (g 1 , g 2 )V (g 1 g 2 )mitω ′ (g 1 , g 2 ) = α(g 1 )α(g 2 )α(g 1 g 2 ) −1 ω(g 1 , g 2 ) .Es hängt von der Gruppe ab, ob es immer eine Wahl von α gibt,sodass ω ′ = 1 erreicht werden kann. Betrachten wir einige Beispiele:(i) Die Abbildung a → U(a), a ∈ R n , mit (U(a)Ψ)(x) = Ψ(x−a),Ψ ∈ L 2 (R n ), ist eine unitäre Darstellung der Translationsgruppe.Die Translationsgruppe besitzt aber auch echte projektiveDarstellungen, die sich nicht auf Darstellungen zurückführen lassen. So wird die Translationssymmetrie in einemkonstanten Magnetfeld B nicht durch die oben angegebenenOperatoren beschrieben, sondern durch die sogenannten magnetischenTranslationen(U B (a)Ψ)(x) = e i e 2 B·(a×x) Ψ(x − a) .Diese sind gerade so gewählt, dass sie mit den kinetischenImpulsen⃗π = p + e 2 a × Bvertauschen:(U B (a)⃗πΨ)(x) = e i e 2 B·(a×x) ⃗πΨ(x − a)= e i e 2 B·(a×x) ( 1 i ∇ + e (x − a) × B)Ψ(x − a)2(⃗πU B (a)Ψ)(x) = ( 1 i ∇ + e 2 x × B)ei e 2 B·(a×x) Ψ(x − a)= e i e 2 B·(a×x) ( 1 i ∇ − e 2 a × B + e x × B)Ψ(x − a) .2Daher vertauschen sie auch mit dem HamiltonoperatorH = |⃗π|22m .Sie vertauschen aber nicht untereinander. Stattdessen giltU B (a)U B (b) = e i e 2 B·(a×b) U B (a + b) .