Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

2. SYMMETRIEGRUPPEN 41Die einfachste Wahl ist γ = 1. Dann ist die Determinante vonV gleich 1, also gilt ω = ±1. Z.B. gilt für das Produkt zweierDrehungen um dieselbe Achse mit Drehwinkel π 2V 2 = −1 .Es ist nicht möglich, dieses Vorzeichen durch eine andere Wahlvon V zu eliminieren. Dies kann man in der folgenden Weiseeinsehen.Sei V ′ = αV eine andere Wahl mitV ′ (R)V ′ (R(e, φ)V ′ (R) −1 = V ′ (R(Re, φ)) .(Eine Darstellung müsste diese Relation erfüllen). Dann folgt,dass α unabhängig von der Drehachse ist. Insbesondere istα(R) = α(R −1 ), da R −1 die Drehung mit demselben Winkelund der entgegengesetzten Drehachse ist.Wenn V ′ eine Darstellung ist, dann muss auch geltenV ′ (R)V ′ (R −1 ) = 1 .Da auch V diese Gleichunng erfüllt, folgt α(R) 2 = 1. Damitbleibt aber die Relation (V ′ ) 2 = −1 für Halbdrehungenerhalten.Für φ ∈ [0, 2π] und e beliebig durchläuft V (R(e, φ)) alleunitären (2 × 2)-Matrizen mit Determinante 1. Diese bildendie sogenannte spezielle unitäre Gruppe SU(2). Umgekehrtdefiniert jedes U ∈ SU(2) eine Drehung R(U) durchU(n · ⃗σ)U −1 = (R(U)n) · ⃗σ ,da jede hermitesche (2 × 2)-Matrix mit Spur 0 und Determinante-1 sich in der Form n · ⃗σ schreiben lässt, mit einemEinheitsvektor n ∈ R 3 . Offenbar ist die Abbildung{SU(2) → SO(3)U ↦→ R(U)eine Grupenhomomorphismus mit Kern {±1}.Tatsächlich ist jede irreduzible projektive Darstellung Vder Drehgruppe von der FormV (R(U)) = α(U)V 0 (U)mit einem Phasenfaktor α und einer irreduziblen DarstellungV 0 der SU(2). Hierbei heißt eine Darstellung irreduzibel, wennes keinen nichttrivialen invarianten Unterraum gibt. Äquivalentdazu ist nach dem Schurschen Lemma, dass nur die Vielfachender Eins mit den Darstellungsoperatoren vertauschen.