Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

60 IV. STREUTHEORIEFalls die asymptotische Vollständigkeit erfüllt ist, ist die S-Matrixunitär. Für die T-Matrix folgt daraus die Relation∫T (k, k ′ ) − T (k ′ , k) = −2πmk d 2 nT (kn, k)T (kn, k ′ ) ,S 2mit k = |k| = |k ′ |. Für k = k ′ ergibt sich gerade das optische Theorem.Wenn das Potential rotationssymmetrisch ist, vertauscht die S-Matrixmit den Rotationen, also auch mit den Drehimpulsoperatoren. Zerlegenwir den Hilbertraum H = L 2 (R 3 ) nach Drehimpulsquantenzahlen, soerhalten wir eine entsprechende Zerlegung der S-Matrix. Die S-Matrixvertauscht auch mit H 0 . Man kann zeigen, dass bei vorgegebener Drehimpulsquantenzahll alle Operatoren, die rotationsinvariant sind undmit H 0 vertauschen, Funktionen von H 0 sind. In der Energiedarstellungwirkt S daher als Multiplikationsoperator mit einer Funktion S l (E). EsgiltS l (E) = e 2iδ l(E)mit der in Quantenmechanik I definierten Streuphase.3. VielkanalstreuungBei Mehrteilchenproblemen ist das asymptotische Verhalten sehrkompliziert. Zwar hat der Hamiltonoperator dieselbe Form wie im Einteilchenproblem,n∑ 1H = − ∆ xi + ∑ V ij (x i − x j ) ,2mi=1 ii 2 kann der Hamiltonoperatorin Schwerpunkt- und Relativanteil geteilt werden. Im Gegensatzzum 2-Teilchensystem gibt es aber kein ausgezeichnetes System unabhängigerRelativkoordinaten. n-Teilchen-Bindungszustände können