Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

3. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE 33wobei P der Projektor auf das orthogonale Komplement von Ψ ist.Wenn E 0 nicht isoliert ist, dann ist (H 0 − E 0 ) −1 auf P H nicht beschränkt.Man betrachtet stattdessen für Im z > 0E 2 (z) = − ( P H 1 Ψ, (H 0 − z) −1 P H 1 Ψ )∫= − dµ(k)| ( χ k , H 1 Ψ ) | 2 (E(k) − z) −1Mit lim Im 1x−iε= πδ(x) ergibt sichlim Im E 2 (E 0 + iε) = −Γ/2 .Als eine Anwendung betrachten wir die spontane Emission. Dieseist im Rahmen der Quantenmechanik nicht ableitbar. Sie beruhtdarauf, dass ein quantisiertes elektromagnetisches Feld nicht identischverschwinden kann, weil die Operatoren der elektrischen und magnetischenFeldstärke kanonische Vertauschungsrelationen besitzen und daherUnschärferelationen erfüllen.Wir betrachten einen Hilbertraum, der ein Tensorprodukt des Hilbertraumsdes untersuchten atomaren System mit dem Hilbertraum derPhotonen ist. Anfangs ist das System im Zustand Φ i ⊗ |0〉, wobei |0〉den Vakuumzustand des elektromagnetischen Feldes bezeichnet. Dasgekoppelte System besitzt aber, wenn Φ i nicht der Grundzustand ist,kontinuierliches Spektrum nahe bei E i , namlich die schwachen EigenvektorenΦ f ⊗ |k, λ〉 mit |k| ≈ E i − E f . Hierbei bezeichnet |k, λ〉 den1-Photonzustand mit Impuls k und Polarisation λ. Wir normieren dieuneigentlichen 1-Photonzustände mit scharfem Impuls durch〈k, λ|k ′ , λ ′ 〉 = 2|k|δ(k − k ′ )δ λλ ′(Diese Normierung hat den Vorteil, dass sie lorentzinvariant ist.) UmFermis goldene Regel anwenden zu können, berechnen wir die Matrixelementedes Wechselwirkungsterms −eA · p/m. Hierbei ist A(x) einOperator im Fockraum der Photonen, der aus dem Vakuum einen 1-Photonzustand erzeugt. Es gilt〈k, λ|A(x)|0〉 = (2π) −3/2 e −ik·x e λDie Polarisationsvektoren e λ , λ = 1, 2 sind dabei eine orthonormaleBasis des Orthogonalraums von k. Die Wellenlänge, die den atomarenÜbergängen entspricht, ist sehr viel größer als der Radius der Atome,daher kann e −ik·x bei der Berechnung der Matrixelemente zwischen Φ fund Φ i gleich 1 gesetzt werden. Wir finden für die Zerfallsrate nach der