Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

1. SCHRÖDINGERSCHE STÖRUNGSTHEORIE 17Der Grundzustand ist bei Berücksichtigung von Elektron und Kernspin4-fach entartet. Der Erwartungswert von ∂ i ∂ j in einem Grund-1|y|zustand ist unabhängig vom Spin und ergibt sich zu∫b ij := d 3 y|ϕ 100 (y)| 2 1∂ i ∂ j|y|∫=N 2 d 3 1ye −2|y| ∂ i ∂ j|y|= 1 ∫3 δ ijN 2 d 3 ye −2|y| ∆ 1|y|wegen Rotationsinvarianz. Mit ∆ 1|y| = −4πδ(y) und N = π−1/2 folgtb ij = − 4 3 δ ij .Mit B(ay) = − 14π a−3 (⃗µ∆ − (⃗µ · ∇)∇) 1 findet man für den Erwartungswertdes vom Kernmoment erzeugten Magnetfeldes|y|〈B〉 = 1 84π a−3 ⃗µ p3 .Also erhält man für P 0 H 1 P 0 die folgende 4 × 4-Matrix, ausgedrücktdurch die Spinoperatoren S und S p(H 1 ) = 1e e 84π a−3 S · S p gg p2m 2m p 3 = 2 3 gg m 2p α 4 S · S p .m pEs bleibt, das Produkt der Spinoperatoren zu diagoalisieren. Eine analogeRechnung wurde bei der Berechnung der Spin-Bahn-Wechselwirkunggemacht. Es gilt(|S + Sp | 2 − |S| 2 − |S p | 2)S · S p = 1 2= 1 (j(j + 1) − 3 )24 · 2 ={ 14, j = 1− 3 4, j = 0Für die Energieaufspaltung zwischen Ortho- und Parawasserstoff ergibtsich also∆E = 2 3 gg mp α 4 · m .m pBerechnung des Vorfaktors mit m/m p = 1/1840 liefert∆E = 1, 14 · 10 −11 m .Mit der Elektronmasse m = 0, 511MeV ergibt sich ∆E zu 5, 8µeV.Die Wellenlänge der zugehörigen elektromagnetischen Welle ergibt sichaus der Comptonwellenlänge des Elektrons 2π m = 2, 4 · 10−12 m zu λ =21, 4cm.Elektromagnetische Strahlung dieser Wellenlänge wird im Kosmosbeobachtet. Aus der Intensität dieser Linie zieht man Rückschlüsse aufdie Dichte und Temperatur des Wasserstoffs im interstellaren Raum.