Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

20 II. NÄHERUNGSVERFAHRENden Eigenwerten gehörige Spektralprojektor, und sei E 0 der Mittelwertder betrachteten Eigenwerte. Dann definiert man die OperatorenH(λ) = H 0 (1 − P 0 ) + E 0 P 0 + λ ( (H 0 − E 0 )P 0 + H 1)Die Eigenwerte von H 0 + H 1 , die den betrachteten Eigenwerten von H 0entsprechen, werden in erster Ordnung in λ durch die Eigenwerte vonP 0 (H 0 + H 1 )P 0 auf dem Unterraum P 0 H gegeben.Als Beispiel untersuchen wir den Stark-Effekt beim AmmoniakmolekülNH 3 . In einer halbklassischen Betrachtung hat das Molekül dieForm einer dreiseitigen Pyramide, wobei die 3 Wasserstoffatome eingleichseitiges Dreieck bilden und das Stickstoffatom sich entweder oberoderunterhalb der dadurch gebildeten Ebene befindet. Quantenmechanischkann man die Position des Stickstoffatoms auf der Mittelsenkrechtennäherungsweise durch die 1-dimensionale Schrödigergleichungund ein Doppelwall-Potential beschreiben, bei dem die Minima einenAbstand 2h haben. Die Wellenfunktion des Grundzustands ist symmetrisch,die des ersten angeregten Zustands antisymmetisch. Ihre Energiedifferenzist sehr klein (ca. 10 −4 eV). Sind ϕ 0 und ϕ 1 die normiertenEigenvektoren mit Eigenwerten E 0 ∓ ∆, so müssen wir die Matrix( )E0 − ∆ ppE 0 + ∆diagonalisieren, mit p = Q|E| ( ϕ 0 , xϕ 1)≈ Q|E|h. Hierbei ist Q diemittlere elektrische Ladung des Stickstoffatoms. Die Eigenwerte sind3E 0 ± √ ∆ 2 + p 2 ≈ E 0 ± p(1 + ∆22p 2 )für p ≫ ∆. In diesem Fall ergibt sich also ein effektives Dipolmomentfür das Ammoniakmolekül.Nach diesen Beispielen, aus denen man entnehmen kann. wie reichhaltigund vielfältig die Anwendungen der Störungstheorie sind, wollenwir uns kritisch mit der Rechtfertigung der Störungstheorie und mitihren Grenzen beschäftigen.Betrachten wir zunächst das endlichdimensionale Problem. SeienH 0 und H 1 hermitesche n × n-Matrizen. Die Eigenwerte von H 0 + λH 1sind dann Nullstellen des charakteristischen Polynomsp λ (z) = det(H 0 + λH 1 − z1) .Nach Sätzen der Funktionentheorie sind die Nullstellen z i (λ) algebraischeFunktionen in λ. Sie lassen sich in einer Umgebung von λ = 0 ineine Potenzreihe von λ 1/p entwickeln, wobei p ≤ n die Multiplizität derNullstelle bei λ = 0 ist. Hierbei darf λ auch komplexe Werte annehmen.Wir nutzen jetzt aus, dass H 0 + λH 1 für reelle λ hermitesch ist.Daher muss z i (λ) für relle λ selbst reell sein. Dies ist aber nur möglich,wenn in der Potenzreihenentwicklung ausschließlich Vielfache von p als