Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

5. TENSOR-OPERATOREN UND WIGNER-ECKART-THEOREM 49Transformationseigenschaften des Ortsoperators unter Drehungen. EsgiltU(R)(a · x)U(R) −1 = (Ra) · x ,auf dem Raum der Operatoren {a·x, a ∈ R 3 } wirkt die Drehgruppe alsoin ihrer definierenden Darstellung (l = 1). Ist V ein irreduzibler Darstellungsraumvon Operatoren, und ist {A 1 , . . . , A n } eine Basis von V ,so nennt man das n-Tupel (A 1 , . . . , A n ) einen irreduziblen Tensoroperator.Beispiele für irreduzible Tensoroperatoren bezüglich der Drehgruppesind Impuls, Drehimpuls, Spin,. . . . Multipliziert man einen irreduziblenTensoroperator komponentenweise mit den Vektoren einesHilbertraums, auf dem die Gruppe dargestellt ist, so erhält man alsDarstellungsraum einen Quotientenraum des Tensorprodukts. Im Fallder Drehgruppe kann dieser mit einem Unterraum des Tensorproduktsidentifiziert werden.Seien E k : H jk → H, k = 1, 2 Verkettungsoperatoren,E k U jk (g) = U(g)E k ,und sei F : H j → L(D, H) eine lineare Abbildung von H j in den Raumder Operatoren mit invariantem Definitionsbereich D, sodass giltF (U j (g)χ) = U(g)F (χ)U(g) −1 .Dann gilt das Wigner-Eckart-Theorem:Theorem III.2. Die Matrixelemente der Operatoren F (χ) zwischenVektoren der Form E 1 Φ und E 2 Ψ sind von der Form(E1 Φ, F (χ)E 2 Ψ ) = ( C j 1jj 2Φ, χ ⊗ Ψ ) 〈E 1 ||F ||E 2 〉(2j 1 + 1) −1/2mit einem von Φ, χ und Ψ unabhängigem Faktor 〈E 1 ||F ||E 2 〉 (demreduzierten Matrixelement“)”Beweis: Die lineare Abbildung{Hj ⊗ HK :j2 → Hχ ⊗ Ψ ↦→ F (χ)E 2 Ψerfüllt die VerkettungsrelationU(g)K = KU j (g) ⊗ U j2 (g) .Es gilt (E1 Φ, F (χ)E 2 Ψ ) = ( Φ, E1K(χ ∗ ⊗ Ψ ) .Wir schieben zwischen K und χ ⊗ Ψ eine Zerlegung der Eins mithilfeder Clebsch-Gordonoperatoren ein,∑C j′jj 2(C j′jj 2) ∗ = 1 Hj ⊗H j2.j ′Der Operator E ∗ 1KC j′jj 2:= T j ′ verkettet die Darstellung j ′ mit der Darstellungj 1 ,U j1 (g)T j ′ = T j ′U j ′(g) , g ∈ SU(2) .