Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

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36 II. NÄHERUNGSVERFAHRENdes ursprünglichen Hamiltonoperators zurück, wenn es zu Beginn imGrundzustand war; der Operator V s kann aber selbst im nichtentartetenFall verschieden von 1 sein. ( ”Berry-Phase“).
KAPITEL IIISymmetrien in der Quantenmechanik1. SymmetrieoperatorenSymmetrien spielen in der Physik eine große Rolle. In der klassischenMechanik sind die allgemeinsten Symmetrien die kanonischenTransformationen. In der Quantenmechanik definiert man Symmetrienals bijektive Abbildungen des Zustandsraums, die alle Übergangswahrscheinlichkeiteninvariant lassen. Hierbei ist zu beachten, dass einreiner Zustand durch einen eindimensionalen Teilraum (einen Strahl)des Hilbertraumes beschrieben wird. Die Menge der 1-dimensionalenTeilräume eines Hilbertraums H ist der sogenannte projektive RaumPH. Ist [Φ] der vom Einheitsvektor Φ ∈ H erzeugte Teilraum, so ist dieÜbergangswahrscheinlichkeit durchT ([Φ], [Ψ]) = | ( Φ, Ψ ) | 2gegeben. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basisvektoren in deneindimensionalen Teilräumen.Sei nun V eine bijektive Abbildung von PH mitT (V[Φ], V[Ψ]) = T ([Φ], [Ψ]) .Dann gilt der folgende Satz von Wigner:Theorem III.1. Es gibt einen bis auf eine Phase eindeutig bestimmtenOperator V in H mit V[Φ] = [V Φ] für alle Φ ∈ H, sodass Ventweder unitär oder antiunitär ist.Hierbei heißt ein Operator antiunitär, wenn er antilinear ist,und die BedingungenV (λΦ + µΨ) = λΦ + µΨ ,V ∗ V = 1 = V V ∗erfüllt. Zu beachten ist, dass für einen antilinearen Operator der adjungiertedurch die Relation(Ψ, V ∗ Φ ) = ( Φ, V Ψ )definiert wird.Einen Beweis findet man in Messiah II,15.1.1 sowie in V. Bargmann,Journal of Mathematical Physics 5, 862 (1964).Beispiele für unitäre Symmetrien:37
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