Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

2. RAYLEIGH-RITZSCHES VARIATIONSVERFAHREN 27Eigenvektor Ψ 0 zur Grundzustandsenergie E 0 bekannt ist, so gilt nachdem Variationsprinzip( )E 1 = inf Φ, HΦ .Φ⊥Ψ 0 ,‖Φ‖=1Ist Ψ 0 nicht bekannt, so betrachtet man für jedes Ψ ∈ H die Größe( )E 1 (Ψ) = Φ, HΦinfΦ⊥Ψ,‖Φ‖=1Offenbar gilt E 1 (Ψ) ≤ E 1 . Daraus folgt das sogenannte Minimax-Prinzip( )E 1 = sup inf Φ, HΦ .Ψ Φ⊥Ψ,‖Φ‖=1Allgemein gilt für den n-ten Eigenwert E n , von unten an mit Multiplizitätgezählt,( )E n = sup inf Φ, HΦ .Ψ 1 ,...,Ψ n∈H Φ⊥Ψ 1 , . . . , Ψ n ,‖Φ‖ = 1Aus dem Minimax-Prinzip ergibt sich sofort die plausible Aussage, dasspositive Störungen die Eigenwerte erhöhen: seien H 1 , H 2 selbstadjungiertmit demselben Definitionsbereich, und sei(Φ, H1 Φ ) ≥ ( Φ, H 2 Φ )für alle Φ ∈ D(H 1 ) = D(H 2 ). Dann ist der n-te Eigenwert von H 1größer oder gleich dem n-ten Eigenwert von H 2 .Zur praktischen Anwendung des Minimax-Prinzips dient das folgendeCorollar:Corollar 1. Sei V ein n-dimensionaler Teilraum von D(H), undsei P der Orthogonalprojektor auf V . Seien Ê1 ≤ . . . ≤ Ên die Eigenwertevon P HP , eingeschränkt auf V . Dann giltBeweis:Ê k =supΨ 1 ,...,Ψ k−1 ∈V= supΨ 1 ,...,Ψ k−1 ∈H≥supΨ 1 ,...,Ψ k−1 ∈H= E k .E k ≤ Êk , k = 1, . . . , n .infΦ⊥Ψ 1 , . . . , Ψ k−1 ,Φ ∈ V, ‖Φ‖ = 1infΦ⊥Ψ 1 , . . . , Ψ k−1 ,Φ ∈ V, ‖Φ‖ = 1infΦ⊥Ψ 1 , . . . , Ψ k−1 ,Φ ∈ D(H), ‖Φ‖ = 1(Φ, HΦ)(Φ, HΦ)(Φ, HΦ)□6 (Vertretungdurch M.Dütsch)