Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

2. RAYLEIGH-RITZSCHES VARIATIONSVERFAHREN 25Beweis: Da E 0 ein verallgemeinerter Eigenwert von H ist, gibt eseine Folge Φ n ∈ D(H) mit ‖Φ n ‖ = 1 und (H − E 0 )Φ n → 0. Daher gilt( )Φn , HΦ n = E0 + ( )Φ n , (H − E 0 )Φ n → 0 .□Wir wollen dieses Verfahren zur Abschätzung der Grundzustandsenergiedes Heliums anwenden. Sei wie im vorigen AbschnittH = − 1 2 ∆ y 1− 1|y 1 | − 1 2 ∆ y 2− 1|y 2 | + 1 1Z |y 1 − y 2 | .Als Versuchsfunktion wählen wir ein Produkt von Einteilchenwellenfunktionen,die Grundzustände des Einteilchenhamiltonoperators h λmit teilweise abgeschirmtem Coulombpotential sind,h λ = − 1 2 ∆ − λ|y|, λ ∈ (0, 1) .Die Grundzustandswellenfunktion von h λ istϕ λ (y) = λ 3/2 π −1/2 e −λ|y|mit Eigenwert − 1 2 λ2 . Die Versuchsfunktion ist daherψ λ (y 1 , y 2 ) = ϕ λ (y 1 )ϕ λ (y 2 ) .Der Erwartungswert von H in diesem Zustand ist( ) ( ) (ψλ , Hψ λ = 2 ϕλ , h λ ϕ λ + 2 ϕλ , λ − 1 ) 1 ( 1ϕ λ + ψλ ,|y| Z |y 1 − y 2 | ψ )λ .Es gilt∫( 1ϕλ ,|y| ϕ )λ = λ 3 π −1 dr4πr 2 1 r e−2λr = λ ,sowie( 1ψλ ,|y 1 − y 2 | ψ ) ( 1λ = λ ψ1 ,|y 1 − y 2 | ψ )1 .Im vorigen Abschnitt haben wir das Skalarprodukt auf der rechten Seitezu 5 berechnet. Damit folgt8( )ψλ , Hψ λ = −λ 2 + 2(λ − 1)λ + 1 Z λ5 8 = λ2 − (2 − 58Z )λ .Das Minimum wird angenommen für λ = 1 − 5 und beträgt16Z( ) 5inf ψλ , Hψ λ = −(1 −λ16Z )2 .Für Helium ergibt sichE 0 ≤ −4mα 2( 27) 2= −77, 46eV .32Die Übereinstimmung mit dem experimentellen Wert (-78.975 eV) istalso wesentlich besser als bei der Störungstheorie 1. Ordnung (-74,8eV) bei vergleichbarem rechnerischen Aufwand.