Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

Der zugehörige Generator ist4. TENSORPRODUKTE 45i d dt G(ta) t=0 = −ma · x .In der Galilei-Gruppe kommutieren Beschleunigungen und Translationen.Für die zugehörigen Generatoren in der Quantenmechanik abergilt[−ma · x, b · p] = −ima · b ,sie bilden daher eine projektive Darstellung der Lie-Algebra der Galilei-Gruppe, die durch den Wert der Masse m charakterisiert wird. Tatsächlichlässt sich die Schrödingergleichung für ein freies Teilchen aus derForderung der Galilei-Invarianz ableiten.4. TensorprodukteIn der Physik steht man oft vor der Aufgabe, komplexe Systeme alsZusammensetzung einfacher Systeme zu beschreiben. Der einfachsteWeg zur Zusammensetzung quantenmechanischer Systeme benutzt diemathematische Methode des Tensorprodukts (auch Kronecker-Produktoder direktes Produkt genannt; die letztere Bezeichnung wird aber inder Mathematik für eine andere Konstruktion verwendet und solltedaher vermieden werden).Seien H 1 und H 2 zwei Hilberträume. Das Tensorprodukt H = H 1 ⊗H 2 ist der durch die folgenden Eigenschaften eindeutig charakterisierteHilbertraum:(i) Es gibt eine bilineare Abbildung{H1 × H⊗ :2 → HΦ 1 , Φ 2 ↦→ Φ 1 ⊗ Φ 2(ii) Das Skalarprodukt in H erfüllt die Bedingung(Φ1 ⊗ Φ 2 , Ψ 1 ⊗ Ψ 2)=(Φ1 , Ψ 1)(Φ2 , Ψ 2).(iii) Die Vektoren ∑ ni=1 Φ(i) 1 ⊗ Φ (i)2 , n ∈ N 0 , Φ (i)j ∈ H j , j = 1, 2,liegen dicht in H.Z. B. ist L 2 (R 2 ) = L 2 (R) ⊗ L 2 (R) mit(φ ⊗ ψ)(x, y) = φ(x)ψ(x) .Eine Methode zur Konstruktion des Tensorprodukts geht von derWahl von Orthonormalbasen {Φ (n)j , n ∈ N} von H j , j = 1, 2 aus.Sei l 2 (N × N) der Raum der quadratisch summierbaren Doppelfolgen(c nm ) n,m∈N , ∑ n,m |c nm| 2 < ∞. Dann wird durchΨ 1 ⊗ Ψ 2 := (c nm )mit c nm = ( Φ (n) )((m))1 , Ψ 1 Φ 2 , Ψ 2 eine Abbildung mit den gefordertenEigenschaften definiert. Man erkennt, dass {Φ (n)1 ⊗ Φ (m)2 , n, m ∈ N}eine Orthonormalbasis von H 1 ⊗ H 2 bildet.17