Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

2. ZEITUNABHÄNGIGE STREUTHEORIE 59Wir definieren jetzt die operatorwertige FunktionT (z) = V − V R H (z)V .Sie hängt mit der T-Matrix zusammen durchT (k, k ′ ) = limε→0(χ(0)k , T (E(k′ ) + iε)χ (0)k ′ ).Diese Funktion ist auf der längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenenkomplexen Ebene meromorph mit Polen an den Eigenwerten vonH auf der negativen reellen Achse. Für genügend schnell abfallende PotentialeV lässt sie sich über den Schnitt ins zweite Blatt fortsetzen.Dort auftretende Pole lassen sich als Resonanzen deuten. Ist E − i 2 Γeine solche Resonanz, E > 0, Γ > 0 genügend klein, so gilt für E ′ nahebei ET (E ′ ) = (E − i 2 Γ − E′ ) −1 A + Q(E ′ )mit Q analytisch. Daher folgt für die ÜbergangsamplitudeT (k, k ′ ) = (E − i 2 Γ − E(k′ )) −1( χ (0)k, ) ( Aχ(0) (0)k + χ ′ k , Q(E(k′ ))χ (0) )k ′und damit für den totalen Wirkungsquerschnittσ(E ′ ) = m 2π Im T (k′ , k ′ ) = ((E − E ′ ) 2 + Γ24 )−1 const + D(E ′ ) .D hängt typischer Weise nur wenig von E ′ ab. Der Wirkungsquerschnitthat daher in der Nähe einer Resonanz ein ausgeprägtes Maximum mitHalbwertsbreite Γ.Wir wollen die Größen der Streutheorie für ein einfaches, etwaskünstliches Beispiel bestimmen. Sei V ein sogenanntes separables Potential,d.h. V = |Φ〉〈Φ| mit einem Φ ∈ L 2 (R 3 ), z.B. Φ(x) = e −µ|x| ,µ > 0.Für die Resolvente ergibt sich∞∑R H (z) − R H0 (z) = (−1) n (R H0 (z)V ) n R H0 (z)und damit=n=1∞∑(−1) n (R H0 (z)|Φ〉(〈Φ|R H0 (z)|Φ〉) n−1 〈Φ|n=1= −(1 + ( Φ, R H0 (z)Φ ) ) −1 R H0 (z)|Φ〉〈Φ|R H0 (z) .T (E) = V − V R H (E)V =Damit ergibt sich für den Wirkungsquerschnitt|Φ〉〈Φ|1 + ( Φ, R H0 (E)Φ ) .∣ ∣dσ ∣∣∣∣dΩ = m2 (2π) 3 ˆΦ(k)ˆΦ(k ′ ) ∣∣∣∣24π 2 1 + ( Φ, R H0 (E)Φ ).