Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

4. PLÖTZLICHE UND ADIABATISCHE ÄNDERUNGEN 35und die Anfangsbedingung V 0 = 1 bestimmt sind. Insbesondere giltP (s)V ′sP(0) = P (s)[P ′ (s), P (s)]V s P (0) = P (s)[P ′ (s), P (s)]P (s)V s = 0 .Es gilt nun, dass der Zeitentwicklungsoperator U τ (sτ, 0) bis auf einenoszillierenden Faktor gegen V s strebt. Die adiabatische Zeitentwicklungführt also Eigenzustände in Eigenzustände über. Es gilt das AdiabatentheoremTheorem II.4.‖ ( U τ (sτ, 0) − e −iτ R s0 ds′ E(s ′) V s)P (0)‖ ≤ constτ −1 .Beweis: Sei W τ (s) = U τ (sτ, 0)e iτ R s0 ds′ E(s ′) . Wir wollen zeigen, dassdie Norm von (W τ (s) ∗ V s − 1)P (0) wie τ −1 gegen Null konvergiert. Wirbetrachten die Ableitung dieses Operators nach s,dds W τ(s) ∗ V s P (0) = ( dds W τ(s) ∗) V s P (0) + W τ (s) ∗ d ds V sP (0) .Es gelten die Beziehungendds W τ(s) ∗ = iτW τ (s) ∗( H(s) − E(s) ) ,V s P (0) = P (s)V s ,und ( )H(s) − E(s) P (s) = 0 .Daher verschwindet der erste Term in der Ableitung. Im zweiten Termkönnen wir wegen P (s)V sP(0) ′ = 0 einen Faktor (1 − P (s)) vor V s′einfügen.Nach Voraussetzung ist E(s) im Spektrum von H(s) isoliert. Daherexistiert das Inverse von H(s) − E(s) auf (1 − P (s))H, und wir könnendie BeziehungW τ (s) ∗ (1 − P (s)) = 1iτbenutzen. Wir findendmitds W τ(s) ∗ V s P (0) = 1iτdds W τ(s) ∗ (H(s) − E(s)) −1 (1 − P (s))dds W τ(s) ∗ A(s)A(s) = (H(s) − E(s)) −1 (1 − P (s)) d ds V sP (0) .Durch partielle Integration erhalten wir schließlich(W τ (s) ∗ V s −1)P (0) = 1 (∫W τ (s) ∗ A(s) − A(0) − ds ′ W τ (s ′ ) ∗ d )iτds ′ A(s′ )Unter der Voraussetzung, dass A und seine Ableitung gleichmäßig beschränktsind (hierfür ist die Isoliertheit von E(s) wesentlich), erhältman die gewünschte Abschätzung.Bei langsamen Änderungen bleibt ein System also in einem Eigenzustand.Bei periodischen Änderungen kehrt es daher zum Grundzustand.