Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

44 III. SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIK( ”source“) s(γ) = e. (Zwei Wege liegen in derselben Homotopieklasse,wenn sie stetig, bei festgehaltenen Endpunkten, ineinander überführtwerden können.) Mit r(γ) ( ”range“) wird der Endpunkt von γ bezeichnet.Dieser hängt natürlich nur von der Homotopieklasse ab und definiertdurch π([γ]) = r(γ) eine Abbildung von ˜G 0 auf G 0 . Ist γ ein Wegin G 0 und g ∈ G 0 , so sei gγ der Weg, den man erhält, wenn man jedenPunkt des Weges von links mit g multipliziert. Wir definieren jetzt dasProdukt zweier Homotopieklassen durch[γ 1 ][γ 2 ] := [γ 1 ◦ r(γ 1 )γ 2 ]Durch diese Definition erhält ˜G 0 die Struktur einer Gruppe, und π wirdein surjektiver Homomorphismus, die sogenannte Überlagerungsabbildung.Z. B. ist SU(2) die universelle Überlagerungsgruppe von SO(3); Darstellungender Lie-Algebra su(2) mit halbzahligem Spin können nichtzu Darstellungen der SO(3) integriert werden. Die Überlagerungsgruppeder SO(2) (der Drehgruppe in 2 Dimensionen) ist R. R besitzt dieirreduziblen Darstellungen φ ↦→ e isφ mit s ∈ R. Daher ist der Spin in 2Dimensionen nicht quantisiert ( ”Anyonen“).Projektiven Darstellungen einer Lie-Gruppe entsprechen projektiveDarstellungen der Lie-Algebra[T (a), T (b)] = T ([a, b]) + c(a, b)1mit c(a, b) ∈ iR. Zum Beispiel ist der Generator der magnetischenTranslationenp B = p − e 2 x × B .a ↦→ a · p B ist eine projektive Darstellung der zugehörigen Liealgebra(mit Lie-Produkt [a, b] = 0) und erfüllt[a · p B , b · p B ] = −ie(a × b) · B .Die infinitesimalen magnetischen Translationen in der Ebene senkrechtzum Magnetfeld erfüllen also ebenso wie die zugehörigen kinetischenImpulse kanonische Vertauschungsrelationen, wobei die Rolle von durch die Flächendichte |eB| übernommen wird.In der klassischen Mechanik beschreibt ein geladenes Teilchen ineinem homogenen Magnetfeld eine Spiralbahn um die Richtung desMagnetfelds. Die Koordinaten des Mittelpunkts der zugehörigen Kreisbahnin der Ebene senkrecht zum Magnetfeld sind proportional zu denmagnetischen Impulsen. Quantenmechanisch ist dieser Mittelpunkt offenbarnicht mehr scharf bestimmt, sondern seine Koordinaten unterliegenden Heisenbergschen Unschärferelationen.Ein weiteres Beispiel sind die Galilei-Transformationen (t, x) ↦→(t, x+tv). Für ein Teilchen mit Masse m wird die Galilei-Transformationauf ein Bezugssytem mit Geschwindigkeit v definiert durch(G(v)Ψ)(x) = e imv·x Ψ(x) .