Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

3. ZEITABHÄNGIGE STÖRUNGSTHEORIE 29Damit erhält die Dyson-Reihe die Form∞∑ (−i) n ∫U(t, t 0 ) =d n tT H(t 1 ) · · · H(t n )n! [t 0 ,t] nn=0=: T e −i R tt 0dt ′ H(t ′) ,wobei der Ausdruck in der letzten Zeile, das ”zeitgeordnete Exponential“,durch die angegebene Reihe definiert wird.Die Dyson-Reihe ist besonders dann nützlich, wenn man die zeitlicheEntwicklung für verschiedene Hamiltonoperatoren vergleicht. SeiU 0 (t, t 0 ) die Familie der Zeitentwicklungsoperatoren zu den HamiltonoperatorenH 0 (t) und seiH 1 (t) = U 0 (t, t 0 ) −1 (H(t) − H 0 (t))U 0 (t, t 0 ) .Wir betrachten die unitären OperatorenDann giltU 1 (t, t 0 ) = T e −i R tt 0dt ′ H 1 (t ′) .U(t, t 0 ) = U 0 (t, t 0 )U 1 (t, t 0 )Als Anwendung berechnen wir die Übergangswahrscheinlichkeit zwischenstationären Zuständen eines zeitunabhängigen HamiltonoperatorsH 0 unter dem Einfluss eines zeitabhängigen Störterms H(t) − H 0 .Seien Φ i und Φ f normierte Eigenvektoren von H 0 mit EnergeieigenwertenE i ≠ E f . Zur Zeit t 0 sei das System im Anfangszustand Φ i . Dannist die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t > t 0 im Zustand Φ fzu finden, gegeben durchW i→f (t, t 0 ) = | ( Φ f , U(t, t 0 )Φ i)|2= | ( Φ f , U 1 (t, t 0 )Φ i)| 2 .In unterster Ordnung in der Störung findet manW i→f (t, t 0 ) = |∫ tt 0dt ′( Φ f , H(t)Φ i)ei(t ′ −t 0 )(E f −E i ) | 2Weicht H(t) nur in einem endlichen Zeitintervall von H 0 ab, und istso giltW i→f =lim W i→f(t, t 0 ) ,t 0 →−∞,t→∞W i→f = 2π|ĥ i→f (ω if )| 2 , h i→f (t) = ( Φ f , H(t)Φ i), ωif = E i − E f .Sei z.B. H(t) = H 0 + Af(t) + A ∗ f(t) mit supp f kompakt. Dann istW i→f = 2π| ˆf(ω if ) ( Φ f , AΦ i)+ ˆf(−ωif ) ( Φ f , A ∗ Φ i)| 2 .