Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

Nach Annahme gilt für Ψ(Ψ,(H − Ê)Ψ ) < 0 .26 II. NÄHERUNGSVERFAHRENIm Rahmen der Störungstheorie hatten wir gefunden, dass die GrundzustandsenergieE 0 (λ) der Hamiltonoperatoren H 0 + λH 1 eine konkaveFunktion von λ ist (wegen d2 Edλ 2 0 (λ) ≤ 0). Mit Hilfe des Variationsverfahrenskönnen wir diesen Sachverhalt sehr allgemein beweisen:Theorem II.2. Sei H(λ) = H 0 + λH 1 , λ ∈ R selbstadjungiertmit D(H(λ)) = D(H 0 ). Dann ist die Grundzustandsenergie E 0 (λ) einekonkave Funktion von λ.Beweis: Für alle Ψ ∈ D(H 0 ) mit ‖Ψ‖ = 1 ist die FunktionE Ψ (λ) = ( Ψ, H(λ)Ψ ) = ( Ψ, H 0 Ψ ) + λ(Ψ, H 1 Ψ)linear inhomogen, also konkav. Daher ist E 0 (λ) als Infimum konkaverFunktionen selbst konkav.□Die Variationsmethode liefert exakte obere Schranken für die Grundzustandsenergie.Sie gibt aber keine Information über die Güte dieserSchranken.Eine untere Schranke für die Grundzustandsenergie erhält man ausder Templeschen Ungleichung:Theorem II.3. Sei H selbstadjungiert, sei E 0 die Grundzustandsenergieund δ der Abstand vom übrigen Spektrum von H. Sei Ψ ∈D(H) mit ‖Ψ‖ = 1 undDann gilt〈H〉 := ( Ψ, HΨ ) < Ê < E 0 + δ .E 0 ≥ 〈H〉 − (∆H)2Ê − 〈H〉mit der quadratischen Unschärfe (∆H) 2 = ( Ψ, (H − 〈H〉) 2 Ψ ) .Beweis: Für alle E ∈ sp H gilt(E − E 0 )(E − Ê) ≥ 0 .Also erfüllt der Vektor Ψ im Theorem die Ungleichung(Ψ, (H − Ê)HΨ ) ≥ E 0(Ψ, (H − Ê)Ψ ) .Daher folgt(Ψ, (H − Ê)HΨ )E 0 ≥ (Ψ, (H − Ê)Ψ ) = Ê〈H〉 − 〈H2 〉Ê − 〈H〉= 〈H〉 − (∆H)2Ê − 〈H〉 .□Um diese Ungleichung anwenden zu können, benötigt man Informationenüber die Energie des ersten angeregten Zustands. Wenn der