Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

1. SCHRÖDINGERSCHE STÖRUNGSTHEORIE 23Wir setzen Q λ = [P λ ′ , P λ]. Eine Lösung für U λ ergibt sich also als Lösungder GleichungU λ ′ = Q λ U λ(II.14)mit der Anfangsbedingung U 0 = 1. Die Lösung kann durch einen Potenzreihenansatzgefunden werden:Q λ = Q 0 + λQ 1 + . . .mit U 0 = 1 undU λ = U 0 + λU 1 + . . .U k = k −1 (Q 0 U k−1 + Q 1 U k−2 + . . . + Q k−1 ) .Per Konstruktion besitzt jetzt der Operator˜H λ = U −1λH λU λden invarianten Unterraum P 0 H. Seien E λ,i die Eigenwerte und ˜Φ λ,i diezugehörigen Eigenvektoren von ˜H λ auf diesem Unterraum. Dann sindΦ λ,i = U λ ˜Φλ,i die Eigenvektoren von H λ auf P λ H mit Eigenwerten E λ,i .In erster Ordnung giltP λ = P 0 + λP 1 , P 1 = 1 ∫dzR 0 (z)H 1 R 0 (z) ,2πiund damitU λ = 1 + λQ 0 , Q 0 = [P 0 , P 1 ] ,˜H λ = H 0 + λ(H 1 + [H 0 , [P 1 , P 0 ]]) .Mit [H 0 , P 0 ] = 0 und P 0 P 1 P 0 = 0 folgtP 0 ˜Hλ P 0 = P 0 (H 0 + λH 1 )P 0 .Es ergibt sich also genau derjenige Operator, den wir bereits bei derformalen Störungstheorie erster Ordnung betrachtet haben.Die höheren Ordnungen der Störungstheorie führen in derselbenWeise auf endlich dimensionale Eigenwertprobleme.Aus den obigen Überlegungen entnimmt man, dass die Anwendungder Störungstheorie gerechtfertigt ist, wenn die folgenden Voraussetzungenerfüllt sind:(i) ‖H 1 R 0 (z)‖ < ∞ für alle z ∉ sp H 0 .(ii) Die untersuchte Menge von Eigenwerten von H 0 ist isoliertvom übrigen Spektrum.(iii) Der Störparameter λ ist genügend klein (in Abhängigkeit von‖H 1 R 0 (z)‖ und dem Abstand der zu untersuchenden Eigenwertevom restlichen Spektrum).Bei vielen erfolgreichen Anwendungen der Störungstheorie sind dieseVoraussetzungen nicht erfüllt. Ein besonders merkwürdiges Beispielbildet der Stark-Effekt. Man kann nämlich zeigen, dass der OperatorH λ = − 1 2 ∆ − 1|y| + λy 3γ