Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

50 III. SYMMETRIEN IN DER QUANTENMECHANIKDa die Darstellungen U j ′ irreduzibel und paarweise inäquivalent sind,verschwindet T j ′ für j ′ ≠ j 1 , und T j1 ist nach dem Schurschen Lemmaein Vielfaches der Eins . Sei Φ ′ = (C j 1jj 2) ∗ (χ ⊗ Φ). Dann gilt(E1 Φ, F (χ)E 2 Ψ ) = λ ( Φ, Φ ′) = λ ( C j 1jj 2Φ, χ ⊗ Ψ )mit λ ∈ C unabhängig von Φ, χ und Ψ.□Als Beispiel betrachten wir elektromagnetische Strahlungsübergänge.Hierbei entwickelt man den Wechselwirkungsterm nach Multipolen.Der 2 l -Pol-Term ist von der FormF (c) = ∑ mc m Y lm (θ, φ)f l (r) .Diese Operatoren bilden einen irreduziblen Tensoroperator. Bei der Berechnungvon Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen Zuständen mitDrehimpulsquantenzahlen l 1 , m 1 und l 2 , m 2 findet man〈l 1 , m 1 |F (c)|l 2 , m 2 〉 = ∑ mC l 1ll2(m, m 2 ; m 1 )c m · constmit einer Konstanten, die nicht von m 1 und m 2 abhängt. Dies liefertAuswahlregeln |l 2 − l| ≤ l 1 ≤ l 2 + l und Intensitätsregeln.6. Ununterscheidbare TeilchenBei der Beschreibung eines n-Teilchensystems durch ein n-fachesTensorprodukt der Einteilchen-HilberträumeH n = H 1 ⊗ · · · ⊗ H 1} {{ }nbereitet die Ununterscheidbarkeit der Teilchen Probleme. Wir betrachtenauf H n die unitäre Darstellung der symmetrischen Gruppe S n ,U(σ)Φ 1 ⊗ · · · ⊗ Φ n = Φ σ −1 (1) ⊗ · · · ⊗ Φ σ −1 (n) .Sei A eine Observable des n-Teilchensystems. Die Ununterscheidbarkeitder Teilchen bedeutet, dass A mit allen Permutationsoperatoren U(σ)vertauschen muss,[A, U(σ)] = 0 , σ ∈ S n .Daher ist nicht jeder selbstadjungierte Operator auf H n eine Observable.Tatsächlich zerfällt H n in orthogonale Teilräume, zwischen denenkeine Übergänge durch Observable möglich sind,H n = ⊕ rH r n(Φ, AΨ)= 0 , Φ ∈ Hrn , Ψ ∈ H r′n , r ≠ r ′ .