Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

KAPITEL IVStreutheorie1. Zeitabhängige StreutheorieBindungszustände von Teilchen, die sich unter dem Einfluss eineskurzreichweitigen Potentials bewegen, können geometrisch dadurchcharakterisiert werden, dass sie nie einen endlich ausgedehnten Bereichverlassen, d.h., für alle ε > 0 gibt es ein endlich ausgedehntes Gebiet,außerhalb dessen sich das Teilchen zu keiner Zeit mit einer Wahrscheinlichkeit> ε aufhält. Superpositionen von Eigenzuständen des Hamiltonoperatorsbesitzen diese Eigenschaft, und man kann zeigen, dassfür Potentiale, die sich als Summe einer beschränkten stetigen Funktionund einer quadratisch integrierbaren Funktion schreiben lassen,alle gebundenen Zustände im Unterraum H P (H) liegen, der von denEigenvektoren von H aufgespannt wird.Die Vektoren im orthogonalen Komplement von H P (H) beschreibenin diesem Fall Zustände, bei denen das Teilchen im zeitlichen Mitteljedes endlich ausgedehnte Gebiet G verläßt,12T∫ T−T∫dtGd 3 x|Φ(t, x)| 2 → 0 .(IV.1)Wegen der angenommenen Kurzreichweitigkeit des Potentials verhältes sich in großem Abstand vom Ursprung wie ein freies Teilchen. Wirerwarten daher, dass es Wellenfunktionen Φ ein,aus gibt mit‖e −itH Φ − e −itH 0Φ ein,aus ‖ → 0für t → ±∞. Dies ist äquivalent zuΦ = limt→±∞ eitH e −itH 0Φ ein,aus .Wir definieren die Mølleroperatoren (auch Wellenoperatoren genannt)Ω ein,aus = limt→±∞ eitH e −itH 0.Die Mølleroperatoren sind isometrisch, aber i.a. nicht unitär, da dieBindungszustände nicht in ihrem Bild liegen können.Für die Existenz der Mølleroperatoren gibt es ein einfaches Kriterium(Cook-Kriterium):Theorem IV.1. Seien H und H 0 selbstadjungierte Operatoren mitD(H) = D(H 0 ). Ihre Differenz V = H − H 0 erfülle die Bedingung53