Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

3. VIELKANALSTREUUNG 61aber einfach als Eigenzustände des Operators H − |p|2 definiert werden.2mWir betrachten jetzt zu jedem Cluster C ⊂ {1, . . . , n} den Raumder BindungszuständeH C ⊂ ⊗ H ii∈Cmit dem Zustandsraum H i des i-ten Teilchens. Sei I C , C = {C 1 , . . . , C k }die natürliche Einbettungn⊗I C : H C = H C1 ⊗ · · · ⊗ H Ck → H := H i .Wir definieren den zum Kanal C gehörigen Hamiltonoperator H C dadurch,dass alle Wechselwirkungen zwischen verschiedenen Clusternweggelassen werden. Dann sind die zu diesem Kanal gehörigen MølleroperatorendurchΩ (C)aus,ein = limt→±∞ eitH e −itH CI CFür verschiedene Kanäle sind die Bilder der Mølleroperatoren orthogonal.Daher können die vollen Mølleroperatoren als isometrische Abbildungeni=1Ω aus,ein : H 0 → H , H 0 = ⊕ CH CdurchΩ aus,ein ↾ HC = Ω (C)aus,einerklärt werden. Die S-Matrix wird dann durch S = Ω ∗ ausΩ ein . Sie istunitär, wenn die Bilder der beiden Mølleroperatoorn übereinstimmen.Wenn jeder Zustand asymptotisch eine Superposition von Kanalzuständenist,H = Ω ein H 0 = Ω aus H 0 ,spricht man von asymptotischer Vollständigkeit. Man beachte, dass dabeiauch die n-Teilchen-Bindungszustände im Bild der Mølleroperatorenliegen. Auf ihnen ist der Kanal-Hamiltonoperator gleich dem vollen Hamiltonoperator,daher ist die S-Matrix dort gleich 1.Die asymptotische Vollständigkeit von n-Teilchensystemen wurdefür genügend schnell abfallende 2-Körperpotentiale von Sigal und Soffergezeigt.