Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

1. SCHRÖDINGERSCHE STÖRUNGSTHEORIE 19Eigenzustände des Paritätsoperators können aber ein induziertes Dipolmomenthaben, das proportional zum angelegten Feld ist. Die Verschiebungder Energieeigenwerte ist dann für kleine Feldstärken proportionalzum Quadrat der angelegten Feldstärke. Dieser sogenanntequadratische Stark-Effekt wird durch die Korrektur 2. Ordnung derStörungstheorie beschrieben.Für den Grundzustand von Wasserstoff giltE 1 = eE · 〈x〉 = 0 .Da der Grundzustand nicht entartet ist (der Spin kann bei dieser Überlegungaußer Betracht bleiben), ist die erste Korrektur zur Grundzustandswellenfunktionψ 1 = −(H 0 − E 0 ) −1 H 1 ϕ 100 ,und die Korrektur zweiter Ordnung zur Grundzustandsenergie istE 2 = −e 2 |E| 2( zϕ 100 , (H 0 − E 0 ) −1 zϕ 100).Eine explizite Berchnung von E 2 ist etwas mühsam; wir beschränkenuns daher auf eine grobe Abschätzung. Ist (χ k ) eine verallgemeinerteOrthonormalbasis schwacher Eigenvektoren von H 0 mit EigenwertenE(k), so ist für E(k) ≠ E 0(H 0 − E 0 ) −1 χ k = (E(k) − E 0 ) −1 χ k .Auf ϕ 100 verschwindet der Operator definitionsgemäß. Da der niedrigsteEigenwert nach E 0 den Wert 1E 4 0 hat, gilt im Sinne von Erwartungswerten(H 0 − E 0 ) −1 ≤ ( ( 1 4 − 1)E ) −1 40 =3 |E 0| −1 .Der Betrag von E 2 wird daher abgeschätzt durchWir berechnen|E 2 | ≤ 4 e 2 |E| 2 〈z 2 〉3 |E 0 |〈r 2 cos 2 θ〉 =∫drr 4 e −2r ∫ dww 2∫drr2 e −2r ∫ dw= 2−5 · 4! · 232 −3 2! · 2 = 1 ,also gilt|E 2 | ≤ 4 e 2 |E| 2 a 2.3 |E 0 |Man erwartet nicht, dass die Störungstheorie gute Ergebnisse liefert,wenn die 1. Korrektur zum Eigenwert größer ist als der Abstandzum nächsten Punkt im Spektrum. Ist aber eine Menge von EigenwertenM dicht konzentriert und weit entfernt vom übrigen Spektrum, sokann man die Störung in der folgenden Weise behandeln: Sei P 0 der zu.