Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

KAPITEL IStruktur der Quantenmechanik1. Observable und ZuständeDer auffälligste Unterschied zwischen der Quantenphysik und derklassischen Physik ist, dass auch bei optimaler Präparation eines Systemsund optimaler Messung die Messergebnisse statistisch schwanken.In der klassischen Mechanik hingegen ist bei Angabe eines Punktesim Phasenraum der Wert jeder Observable eindeutig bestimmt, sodassdiese als Funktionen auf dem Phasenraum aufgefasst werden können.Grundlegend für die Quantentheorie ist, dass reelle Observable durchselbstadjungierte Hilbertraumoperatoren beschrieben werden. Ein Hilbertraumist ein komplexer Vektorraum mit einem positiv definitemSkalarprodukt, der vollständig bezüglich der durch das Skalarproduktdefinierten Topologie ist. Operatoren sind lineare Abbildungen des Hilbertraumsin sich. Sie sind stetig, wenn sie auf der Einheitskugel beschränktsind. Obwohl das für die Anwendungen nicht ausreicht, wollenwir zunächst nur beschränkte Operatoren betrachten. Die Norm einesOperators ist definiert durch||A|| = sup ||Aψ|| .||ψ||=1Die Menge der selbstadjungierten beschränkten Operatoren eines Hilbertraumsist ein reeller Banachraum. Das Spektrum eines OperatorsA ist die Menge der komplexen Zahlen Λ, für die A − λ1 kein beschränktesInverses besitzt. Für selbstadjungierte Operatoren A liegtdas Spektrum auf der reellen Achse, und es gilt‖A‖ =sup |λ| .λ∈spectrum(A)(I.1)Dieser Sachverhalt ist die Grundlage für den Funktionalkalkül für selbstadjungierteOperatore. Zunächst betrachtet man Polynome eines Operators.Ist p(x) = ∑ Nn=0 a nx n mit a n ∈ C und a N ≠ 0 ein Polynom.Dann definiert man p(A) = ∑ Nn=0 a nA n . Man verifiziert dann, dass dasSpektrum von p(A) aus der Menge der komplexen Zahlen p(λ) mitλ ∈ spectrum(A) besteht (Übungsaufgabe 1). Ist A selbstadjungiertund p ein Polynom mit reellen Koeffizienten a n , dann ist p(A) selbstadjungiert.Daraus folgt, dass für zwei reelle Polynome p 1 , p 2 gilt||p 1 (A) − p 2 (A)|| ≤sup |p 1 (x) − p 2 (x)| . (I.2)|x|≤||A||5