Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

56 IV. STREUTHEORIEDer Hamiltonoperator H auf den Teilräumen H ein,aus ist also unitäräquivalent zu H 0 . Dies werden wir im nächsten Abschnitt ausnutzen,um eine verallgemeinerte Eigenbasis von H zu finden.Eine wichtige und schwierige Frage ist, ob jeder Zustand im orthogonalenKomplement des Raums der Bindungszustände zu asymptotischenZeiten der freien Zeitentwicklung genügt, d.h. ob giltH ein = H aus = H ⊥ P ?(Asymptotische Vollständigkeit.) Aus der klassischen Mechanik ist bekannt,dass es Zustände gibt, die aus dem Unendlichen kommen unddann für alle Zeiten im Endlichen bleiben. Dieser Fall tritt z.B. beiZentralpotentialen ein, wenn die Energie gerade gleich einem Maximumdes effektiven Potentials ist. Auch in der Quantenmechanik kannman für sehr spezielle Potentiale eine solche Situation finden. Es istaber vor etwa 20 Jahren vor allem durch die Arbeiten von Enss gelungen,zu zeigen, dass für genügend reguläre Potentiale asymptotischeVollständigkeit gilt. Einen Beweis findet man im Reed-Simon.Im folgenden wollen wir annehmen, dass die asymptotische Vollständigkeiterfüllt ist. In diesem Fall kann man die S-Matrix durchS = Ω ∗ ausΩ einals unitären Operator in H definieren. Wegen der Verkettungsrelationender Mølleroperatoren vertauscht die S-Matrix mit H 0 . Die Matrixelementeder S-Matrix,(Ψ, SΦ)=(Ωaus Ψ, Ω ein Φ )interpretiert man als die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass einZustand, der zu frühen Zeiten wie der sich frei entwickelnde ZustandΦ aussieht, zu späten Zeiten wie der sich frei entwickelnde Zustand Ψaussieht.2. Zeitunabhängige StreutheorieIn der zeitunabhängigen Streutheorie, wie wir sie in QuantenmechanikI behandelt haben, betrachtet man Lösungen χ k der zeitunabhängigenSchrödingergleichung zum Energieeigenwert E(k) = |k| 2 /(2m), derenasymptotisches Verhalten für |x| → ∞ von der Formχ k (x) ≈ e ik·x + f(k, x r )eikrrist, mit r = |x| und k = |k|. Wir wollen diese Lösungen mit Hilfe dereinlaufenden Mølleroperatoren konstruieren. Sei χ (0)k= eik·x eine ebeneWelle, die einem schwachen Eigenvektor von H 0 zum Eigenwert E(k)entspricht. χ (0)kkann als lineares Funktional auf dem dichten TeilraumD 0 = {Φ ∈ L 2 (R 3 ), ˆΦ stetig}