Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

64 V. RELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIKDen nichtrelativistischen Grenzwert der Klein-Gordon-Gleichung erhältman in der folgenden Weise: Wir setzen in der Klein-Gordon-Gleichungψ(t, x) = e −imt ϕ(t, x)(V.1)und finden(i ∂ ∂t − 1 ∂ 22m ∂t )ϕ = − ∆2 2m ϕ .(V.2)Falls die in der Lösung vorkommenden Frequenzen gegenüber der Massevernachlässigt werden können, ist ϕ eine Lösung der Schrödingergleichung.Die Kopplung an ein elektromagnetisches Potential (φ, A) liefertfür ein klassisches Teilchen mit Ladung e die Gleichung(E − eφ) 2 = |p − eA| 2 + m 2 .Für die Klein-Gordon-Gleichung im äußeren elektromagnetischen Feldsetzen wir daher an(i ∂ ∂t − eφ)2 ψ = ( | 1 i ∇ − eA|2 + m 2) ψ .Zur Untersuchung des nichtrelativistischen Grenzfalls betrachten wirwieder ϕ(t, x) = e imt ψ(t, x). Sind alle Frequenzen klein gegenüber m,so erhalten wir die Schrödingergleichung im elektromagnetischen Feldfür ein Teilchen mit elektrischer Ladung e und mit verschwindendemmagnetischen Moment.Wir wollen die Klein-Gordon-Gleichung für den Fall lösen, dass A =0 und eφ = − Zα.Dies beschreibt ein π r −-Meson im Feld eines Kernsmit Kernladungszahl Z. Wie im nichtrelativistischen Fall absorbierenwir Zeit und Winkelabhängigkeit durch den Ansatzψ(t, r, θ, ϕ) = e −itE Y lm (θ, ϕ) χ r .Die Radialwellenfunktion χ erfüllt dann die Gleichung( d 2 l(l + 1)− + + m 2) χ = (E + Zαdr2 r 2r )2 χ .Diese Gleichung stimmt formal mit der Radialgleichung der nichtrelativistischenSchrödingergleichung überein, wobei der Koeffizient desCoulombterms jetzt A = EZα ist, im Zentrifugalterm l durch ml′ mitl ′ (l ′ + 1) = l(l + 1) − Z 2 α 2 ersetzt werden muss und der Eigenwert E ′des nichtrelativistischen Problems durch die FormelE ′ = E22m − m 2gegeben ist.Aus Quantenmechanik I wissen wir, dass die Eigenwerte E ′ gegebensind durchE ′ A 2 m= −2(n r + 1 + l ′ ) , n 2 r = 0, 1, . . .