Quantenmechanik II - II. Institute for Theoretical Physics

30 II. NÄHERUNGSVERFAHRENIst f(t) = e iωt für t ∈ [−T/2, T/2] und Null außerhalb, so ist ˆf(ω if ) =(2π) −1 2 sin(ω−ω if )T/2ω−ω if. Die Übergangswahrscheinlichkeit zeigt bei ω ≈ ω ifein Resonanzverhalten,W i→f ≈ | ( Φ f , AΦ i)|2 4 sin2 (ω − ω if )T/2(ω − ω if ) 2 ≈ T 2 | ( Φ f , AΦ i)| 2 .In vielen Fällen, z.B. bei der Bestrahlung eines Atoms mit inkohärentemLicht, kann f als eine Zufallsvariable angesehen werden, mit demstatistischen Mittelwert der 2-Punkkorrelationen∫〈f(t)f(t ′ )〉 = dωI(ω)e iω(t−t′ )7〈f(t)f(t ′ )〉 = 0 = 〈f(t)f(t ′ )〉 .Ist die Quelle eine Zeit T lang eingeschaltet, so gilt für die Übergangswahrscheinlichkeitim statistischen Mittel∫W i→f = dωI(ω) ( | ( )Φ f , AΦ i |2 4 sin2 (ω − ω if )T/2(ω − ω if ) 2+ | ( Φ f , A ∗ Φ i)|2 4 sin2 (ω + ω if )T/2(ω + ω if ) 2 ).Ist die Frequenzverteilung I konzentriert bei ω if , so kann der zweiteTerm vernachlässigt werden. Setzen wir ω ′ = (ω − ω if )T , so ergibt sich∫W i→f ≈ T dω ′ I(ω if + ω′T )4 sin2 ω ′ /2ω ′ 2Ist I stetig, so wächst die Übergangswahrscheinlichkeit linear an, undman erhält für die Übergangsrate w i→f (Übergangswahrscheinlichkeitpro Zeit) den Ausdruckw i→f = 2πI(ω if )| ( Φ f , AΦ i)|2Hierbei haben wir die Formel∫dω 4 sin2 ω/2ω 2= 2πausgenutzt.Als eine Anwendung betrachten wir das Wasserstoffatom im elektromagnetischenFeld . Wir beschreiben die Welle durch ein VektorpotentialA(x, t), das die Wellengleichung( ∂2− ∆)A(x, t) = 0∂t2 erfüllt und der Coulombeichbedingungdiv A = 0