Technische Universität Berlin Institut für Energie- und ...

Grundlagen der Elektrotechnik
2.3.4 Leistungsbegriffe in komplexer Darstellung
Betrachtet wird ein allgemeiner linearer Zweipol von beliebigem inneren Aufbau (Abb.2.4.1).
An seinen Klemmen liege die zeitharmonische Spannung u( t ) und es fließe der Strom i( t )
von der Form:
Abbildung 2.4.1.: Strom und Spannung an den Klemmen eines Zweipols
jϕu jωt jωt { } { }
ut () = uˆ⋅ cos( ωt+ ϕ ) = Reue ˆ e = ReUe u
jϕi jωt jωt { } { }
(2.4.1)
it () = iˆ⋅ cos( ωt+ ϕ ) = Reie ˆ e = ReIe
(2.4.2)
i
Dabei wird ein Verbraucherzählpfeilsystem angenommen. Die momentane Leistung p( t )
ist dann:
Mit dem Additionstheorem
wird daraus
p() t = u() t ⋅ i() t
= uˆ⋅iˆ⋅ cos( ωt + ϕ ) ⋅ cos( ωt
+ ϕ )
u i
(2..4.3)
1
cos( x) ⋅ cos( y) = ( cos( x− y) + cos( x+
y ) )
(2.4.4)
2
1 ˆ
2
pt () = uˆ ⋅i⋅ cos( ϕ − ϕ ) + cos( 2ωt
+ ϕ + )
⎡ ϕ ⎤
(2.4.5)
⎣ u i u i ⎦
Entsprechend den Zählrichtungen von u( t ) und i( t ) nimmt der Zweipol im Fall pt ( ) 〉 0
Leistung auf, im Fall pt ( ) 〈 0 gibt er Leistung ab.
Wir schreiben den Term cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) in der Form
Mit dem Additionstheorem
wird daraus
u i
( ( ) ( ) )
cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) = cos 2 ωt+ ϕ − ϕ − ϕ
(2.4.6)
u i u u i
cos( x − y) = cos x⋅ cos y+ sin x⋅
sin y
(2.4.7)
cos(2 ωt + ϕ + ϕ ) = cos2( ωt+ ϕ )cos( ϕ − ϕ ) + sin 2( ωt+ ϕ )sin( ϕ − ϕ ) (2.4.8)
u i u u i u u i
und nun können wir damit p( t ) schreiben als:
{ ( ( ω ϕu) ) ( ϕu ϕi) ( ω ϕu) ( ϕu ϕi
}
1
pt ( ) = uˆ ⋅iˆ⋅ 1+ cos2 t+ cos − + sin 2 t + sin − ) (2.4.9)
2
Prof. Dr. Ing. Rolf Hanitsch
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