Abrufen - Goldman Sachs

Zurück zu etwas Anschaulichem! Eine
wichtige Eigenschaft der Brown’schen Bewegung
ist, dass sie durch symmetrische Irrfahrten
beliebig genau angenähert werden
kann. Stellen Sie sich vor, ein Pollenteilchen
käme pro Zeiteinheit nur einen Schritt voran:
mit einer Wahrscheinlichkeit von 1⁄2 einen
Schritt nach oben oder mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit einen Schritt nach unten.
Ein Beispiel für eine solche Irrfahrt
während 10 Zeiteinheiten sehen Sie in Abbildung
2.
Pro Zeiteinheit lassen wir nun mehr und
mehr solcher Schritte geschehen. Zusätzlich
strecken wir aber deren räumliche Ausdehnung
immer weiter – damit verhindern wir,
dass sich Schritte nach oben und unten zu
schnell gegenseitig aufheben. Wie Abbildung
3 zeigt, lassen sich zunächst noch einige
längere, gerade Abschnitte ausmachen.
Je mehr solcher Schritte aber pro Zeiteinheit
geschehen, desto unregelmässiger wird der
gesamte Verlauf. In Abbildung 4 haben wir
uns auf diese Weise einer Brown’schen Bewegung
aber schon so gut angenähert, dass
kaum mehr ein Unterschied zu erkennen ist.
Symmetrische Irrfahrten
auch bei Aktien?
Der Zusammenhang zu Aktienkursen ist
nun leichter zu erläutern. Wenn der Kurs einer
Aktie zu Beginn 1 Euro beträgt und diese
pro Tag entweder 10% steigt oder 10%
KnowHow 06/2007
fällt, dann errechnen sich alle Schlusskurse
aus dem Produkt von Startkurs und den bisherigen
relativen Kursgewinnen und -verlus -
ten. Logarithmiert man diese Kurse, so erhält
man eine Summe aus (logarithmierten)
Tagesrenditen. Die einzelnen Summanden
sind nun gerade die oben beschriebenen
Schritte einer symmetrischen Irrfahrt nach
oben und unten – entsprechen also einem
Kursverlust oder -gewinn.
Wie gut sich allerdings die Kurse an den
Börsen unserer Welt überhaupt durch diesen
oder einen anderen mathematischen Ansatz
beschreiben lassen, steht auf einem anderen
Blatt. Preisbestimmend sind Angebot
und Nachfrage der Marktteilnehmer, deren
komplexe Entscheidungswege sich wohl
von keinem Modell präzise einfangen lassen.
So gut wie jeder Versuch einer Vorhersage
aber beinhaltet eine Brown’sche Bewegung
– und gesteht uns Menschen damit zumindest
ebenso viel chaotischen Einfluss auf
Kurse zu, wie ihn Wassermoleküle auf Blütenpollen
haben können.
➔
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
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4
5
6
MARKT
7
8
9
23
Abb. 2: Symmetrische Irrfahrt: Pro Zeit -
einheit nur einen Schritt
t
10
Wenige Schritte: Ob es um eine Einheit nach oben oder
nach unten geht, hat die gleiche Wahrscheinlichkeit.
➔
2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
-1.5
0
Abb. 3: Symmetrische Irrfahrt mit
10 Schritten pro Zeiteinheit
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
10
Viele Zacken: Je mehr Schritte pro Zeiteinheit
geschehen, desto unregelmässiger wird der gesamte
Verlauf.
➔
3
2
1
0
-1
-2
0
Abb. 4: Reale Renditekurve oder
Computersimulation?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
10
Hier sehen wir eine Irrfahrt mit 100 Schritten pro
Zeiteinheit – ein Unterschied zur Renditekurve einer
Aktie ist kaum auszumachen.