Text anzeigen (PDF) - bei DuEPublico

2.1 Signale 13
δ(ξ − ξ0)
ξ0 ξ
(a) Verschobene
Dirac-Distribution
comb
� �
ξ−ξ0
∆ξ
∆ξ
(b) Um ξ0 verschobene und mit ∆ξ gedehnte
Kammdistribution
Abbildung 7: Dirac-Distribution und Kammdistribution
Ein weiteres wichtiges Elementarsignal der Signal- und Bildverarbeitung ist
die Dirac-Distribution bzw. der Dirac-Impuls.
�∞
δ(ξ) dξ = 1
−∞
Eine wesentliche Eigenschaft des Dirac-Impulses ist seine Ausblendeigenschaft.
Sie ist von großer Bedeutung und kann wie folgt dargestellt werden.
Ausgehend von der Rechteckfunktion kann mit dem Parameter a die Höhe 1
a
und die Breite a eines schmalen Rechtecksignals δa(ξ) gesteuert werden:
⎧
1
⎨ für |ξ| < a
δa(ξ) =
⎩
a
2
1
für |ξ| = 2a a
2
0 für |ξ| > a
2
Das Ergebnis des nachstehenden Grenzwertes ergibt den Funktionswert von
g an der Stelle ξ = 0, wodurch die Ausblendeigenschaft von δa(ξ) deutlich
wird.
lim
�∞
a→0
−∞
δa(ξ) · g(ξ) dξ = g(ξ = 0).
Der Dirac-Impuls δ(ξ) stellt eine Konstruktionsvorschrift für eine Abbildung
der vollständig normierten Funktion g(ξ) in die Menge R bzw. allgemeiner
in die Menge C dar.
g (ξ0) =
�∞
−∞
ξ0
g(ξ) · δ(ξ − ξ0) dξ ɛ R
ξ