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2.1 Signale 17
Wird die kausale zeitkontinuierliche Funktion g(t) zu den Zeiten n · TSample
abgetastet, erhält man die zugehörige Abtastwertefolge gS(n·TSample) = gn
mit n=[0; N]. Ihre Fourier-Transformation lautet:
G S(ft) =
N�
n=0
gn · e −j2πftnTSample .
Das Spektrum GS(ft) setzt sich aufgrund der Periodizität der e-Funktion
auch periodisch fort. Der Exponent der e-Funktion liefert mit ft,S = 1
TSample
die Abtastfrequenz und ist identisch mit der Wiederholfrequenz des Spektrums.
Mit der Beziehung z = e j2πftTSample wird die abgetastete Funktion in die
komplexen Z-Ebene transformiert.
G(z) =
N�
n=0
gn · z −n
Mit fS abgetastete Signale ˜g(t) oder Bildsignale zeigen ein periodisch fortgesetztes
Spektrum. Sind die Zeit- bzw. Ortsfunktionen mit fc bandbegrenzt,
so muss mit Blick auf eine Signal- bzw- Bildrekonstruktion das Abtasttheorem
eingehalten werden, um das Überlagern von Spektralanteilen (Aliasing)
zu vermeiden.
fc ≤ 2 · fS
In der Bildverarbeitung beschreiben Objekt-Funktionen mit zwei Ortsvariablen
{x, y} ɛ R Bilder. Die zugehörigen zweidimensionalen Transformationsgleichungen
heißen:
O(fx, fy) =
O(x, y) =
�∞
−∞
∞
�
−∞
O(x, y)e −j2π(xfx+yfy) dxdy (9)
O(fx, fy)e j2π(xfx+yfy) dfxdfy
(10)
Eine wichtige Transformation aus dem Orts- in den Frequenzbereich ist die
Fourier-Transformation des um lx gedehnten Rechteckimpulses:
� � �
x rect für alle x
lx
O(x, y) =
❞ �
1 für alle y
sin(π lx fx)
· δ(fy) = si(lx fx) · δ(fy)
π lx fx