Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 93Combinando los resultados para t > 0 y t < 0, se tiene quex(t) = βe −αt u(t)que coincide con (2.38).Aún contando con herramientas tan poderosas como las presentadas en los ejemplos anteriores,en algunos casos deben utilizarse otras técnicas para calcular las transformadaso antitransformadas, como se muestra a continuación.EJEMPLO 2.9. Transformada de Fourier de x (t) = sgn tEn este ejemplo, recíproco del Ejemplo 2.7, la función x (t) = sgn t no es absolutamente integrable,y tampoco parece sencillo obtener una extensión analítica. De hecho, no se cumple uno de losrequisitos de los lemas de Jordan (específicamente, que lím |z|→∞ f (z) = 0). La resolución se basaen considerar una sucesión de funciones (que sí tengan transformadas) y que se aproximen al sgn ten el límite; por ejemplo, la sucesión x τ (t) = e −τ|t| sgn t cuando τ → 0. La transformada de cadauno de los elementos de la sucesión esX τ ( f ) =Cuando τ → 0, se tiene que=Z ∞−∞Z 0−∞= − e(τ−j2π f ) tτ − j2π fx τ (t) e −j2π f t dt =−e (τ−j2π f ) t dt +0−∞Z ∞−∞Z ∞0+ e−(τ+j2π f ) tτ + j2π f1= −τ − j2π f + 1τ + j2π f .e −τ|t| sgn t e −j2π f t dte −(τ+j2π f ) t dt∞0X( f ) = límτ→0X τ ( f ) = límτ→0−1τ − j2π f + 1τ + j2π f= 1jπ f ,que permite establecer el par transformadosgn t ⇔ 1jπ f .Las señales de los Ejemplos 2.7 y 2.9 no son frecuentes en los problemas de procesamiento,y en general las transformadas pueden resolverse integrando funciones reales o bienaplicando las propiedades que se verán en la Sección 2.5. Sin embargo, estas transformadasson importantes porque tienen relación con la transformada de Hilbert, como seexplora en el Ejercicio 32.Comentario sobre la variable en el dominio transformado (Ω o f )En este apunte se ha definido la transformada de Fourier X ( f ) de la señal x (t) en funciónde la variable frecuencial f , que se mide en ciclos por segundo (cps, o Hz). Sin embargotambién es frecuente en la literatura definir la transformada X (Ω) de la señal x (t) enProcesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011