Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 99Las funciones de los Ejemplos 2.10 y 2.11 son de variación acotada. Una función que notiene variación acotada en cercanías del origen es sen (1/t) , que no tiene transformadade Fourier. Sin embargo esta CONDICIÓN es sólo suficiente, pues hay “funciones” que notienen variación acotada pero sí tienen transformada de Fourier, tal como el impulso o“delta de Dirac” δ (t) . En realidad el impulso no es estrictamente una función, sino unadistribución, tal como se verá en la Sección 2.3.4.2.3.4. El impulso o delta de Dirac δ (t)Estrictamente hablando la teoría de la transformada de Fourier se aplica a funciones temporalesque cumplen con las condiciones de Dirichlet. Tales condiciones incluyen a lasfunciones que tienen energía finita, es decir, que verificanE =Z ∞−∞x 2 (t) dt < ∞, (2.48)como la exponencial decreciente del Ejemplo 2.5 o la función pulso del Ejemplo 2.10.Sin embargo, como se estudió en el Capítulo 1, hay otras señales de uso frecuente en elanálisis de sistemas (las funciones periódicas, el escalón unitario, las señales constantes,etc.) que no tienen energía finita pero sí potencia promedio finita, que satisfacenZ1 T/2P = lím x 2 (t) dt < ∞. (2.49)T→∞ T −T/2En general estas señales no verifican las condiciones de Dirichlet, y no tienen transformadade Fourier. Con las herramientas desarrolladas hasta el momento no es posiblecalcular la transformada de Fourier de una función senoidal o cosenoidal. Sin embargoestas señales se pueden representar usando series de Fourier. Resulta deseable extenderla teoría de la transformada para poder1. combinar la serie y la transformada de Fourier en una teoría unificada, de modo detratar la serie como un caso particular de la transformada de Fourier;2. poder aplicar la transformada de Fourier a señales de potencia promedio finita, yaque son muy usadas en el análisis de sistemas.Tales objetivos pueden alcanzarse introduciendo el delta de Dirac o impulso unitario. Suuso simplifica muchas derivaciones que de otro modo requerirían desarrollos extensos ycomplejos. Aunque este concepto se aplica en la solución de muchos problemas la definiciónmatemática precisa debe interpretarse en el sentido no de una función normal, sinoen base a la teoría de distribuciones.Se detallarán aquí algunas propiedades específicas del delta de Dirac que son necesariaspara soportar los desarrollos posteriores.DefiniciónNormalmente, la “función” impulso δ (t) se define comoZ ∞−∞δ (t − t 0 ) = 0, t ̸= t 0 (2.50)δ (t − t 0 ) dt = 1. (2.51)Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011