Transformada de Fourier

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2.5. Propiedades de la transformada de Fourier 119Fig. 2.37. Propiedad de escalado en tiempo: el caso de los impulsos.Si en algunos de los pares transformados aparecen impulsos, la propiedad de escalado seaplica exactamente igual, pero prestando atención a la propiedad de escalado del impulso:δ(at) = δ(t)/|a| (Sección 2.3.4, Propiedad 2).EJEMPLO 2.22. Propiedad de escalado cuando intervienen impulsosEn la Fig. 2.37(a) se representa la señal x 1 (t) = A cos(2π f 0 t) y su transformada de Fourier X 1 ( f ) =(A/2)δ( f + f 0 ) + (A/2)δ( f − f 0 ). Si x 2 (t) es una versión escalada en tiempo de x 1 , por ejemplo,x 2 (t) = x 1 (2t) = A cos[2π f 0 (2t)], la señal resultante es un coseno de igual amplitud que x 1 (t) perode frecuencia doble. Por lo tanto, su transformada es X 2 ( f ) = (A/2)δ( f + 2 f 0 ) + (A/2)δ( f − 2 f 0 ).La aplicación “ingenua” de la propiedad de escalado en tiempo podría sugerir que se afecta laamplitud de la transformada; pero en realidad esto no ocurre por la propiedad de escalado delimpulso. En efecto, si x 2 (t) = x 1 (2t), se tiene queX 2 ( f ) = 1 f A f2 X 102 2 δ 2 + f + A f2 δ 2 − f 0= 1 2= 1 Ah i2 2 δ 12( f + 2 f 0 )+ A h i 2 δ 12( f − 2 f 0 )= 1 2 A2 2δ ( f + 2 f 0) + A 2 2δ ( f − 2 f 0)= A 2 δ ( f + 2 f 0) + A 2 δ ( f − 2 f 0) ,, por la propiedad de escalado de δ(t)expresión que coincide con la derivada más arriba, y que se representa en la Fig. 2.37(b) .2.5.3. Escalado en frecuenciaSi la transformada inversa de Fourier de X ( f ) es x (t), entonces la transformada inversade X (k f ), donde k es una constante real, está dada por el par transformado 1 t|k| x ⇔ X (k f )kProcesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
120 2. Análisis de FourierFig. 2.38. Propiedad de escalado en frecuencia.Esta relación se puede determinar sustituyendo φ = k f en la ecuación de síntesisZ ∞Z ∞X (kt) e j2π f t d f = X (φ) e j2πφt/k dφ k = 1 t|k| x .k−∞−∞Nuevamente, para impulsos escalados en frecuencia, debe tenerse en cuenta que δ (a f ) =δ ( f ) / |a| .EJEMPLO 2.23. Propiedad de escalado en frecuenciaAnálogamente al escalado en tiempo, la expansión de la escala de frecuencias resulta en una compresiónde la escala de tiempos. Este efecto se aprecia en la Fig. 2.38. Note que a medida que el ejede frecuencia se expande, la amplitud de la función temporal se incrementa de modo de mantenerconstante el área cubierta por al función temporal: recuerde que este área es igual al valor de latransformada en el origen f = 0, que en este caso se mantiene constante e igual a 2AT 0 . Esteresultado también puede obtenerse aplicando la propiedad de dualidad, que se verá más adelante, yla propiedad de escalado en tiempo.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
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Page 3 and 4: 84 2. Análisis de FourierFig. 2.11
Page 13 and 14: 94 2. Análisis de Fourierfunción
Page 25: 106 2. Análisis de FourierHaciendo
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