Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 83Fig. 2.10. Ondas cuadradas de distintos períodos y sus coeficientes de Fourier en función delnúmero de armónico. T 0 = 2τ (a); T 0 = 4τ (b); T 0 = 8τ (c) .2.3.1. Desarrollo de la transformada de FourierEn la Sección 2.2 se estudió cómo una señal periódica puede representarse como unacombinación lineal de exponenciales complejas armónicamente relacionadas. Estos resultadospueden extenderse para desarrollar una representación de señales aperiódicas comocombinación lineal de exponenciales complejas. La introducción de esta representaciónes una de las más importantes contribuciones de Fourier, y el desarrollo que se presentaaquí es muy similar al que él desarrolló en su trabajo original.Los coeficientes complejos de la serie de Fourier de la onda periódica cuadrada del Ejemplo2.4 están dados por la expresión (2.23), repetida aquí por comodidad,c k = A τ sincτ k , k = 0, ±1, ±2, (2.25)T 0 T 0donde T 0 es el período de la señal, y τ el tiempo durante el cual la señal toma el valorA. En la Fig. 2.10 se grafican los valores de estos coeficientes, para un valor fijo de τ ydistintos valores del período T 0 , en función del número de armónica k. En la Fig. 2.11se ha repetido esta figura con algunas modificaciones. En primer lugar, se ha graficadoT 0 c k en lugar de c k , y se ha modificado el eje de abscisas, graficando los coeficientes enfunción de la frecuencia f k = k/T 0 de los armónicos, y no en función del número k dearmónico. La importancia de estos cambios puede apreciarse examinando la ecuación(2.25). Multiplicando c k por T 0 se obtieneT 0 c k = Aτ sincτ k = AτT 0sen (πτ f )πτ f .f =k/T0Pensando en f como una variable continua, la función Aτsen(πτ f ) / (πτ f ) representala envolvente de los coeficientes T 0 c k , y estos coeficientes son simplemente muestrasProcesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011