Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 85Fig. 2.12. (a) Señal aperiódica h (t); (b) señal periódica ˜h (t) construida a partir de h (t).señal periódica). Reescribiendo por conveniencia las ecuaciones (2.20) y (2.19), se tiene˜x (t) =∞∑ c k e j2πk f0t , (2.26)k=−∞c k = 1 Z T0 /2T 0˜x (t) e −j2πk f0t dt, k = 0, ±1, ±2, . . . (2.27)−T 0 /2Ya que ˜x (t) = x (t) cuando |t| < T 0 /2, y como x (t) = 0 fuera de este intervalo, (2.27)puede reescribirse comoc k = 1 T 0Z T0 /2−T 0 /2˜x (t) e −j2πk f 0t dt = 1 T 0Z ∞−∞x (t) e −j2πk f 0t dt. (2.28)Si se define X ( f ) como la envolvente de T 0 c k reemplazando la variable discreta k f 0 poruna variable continua f , se tieneX ( f ) =y entonces los coeficientes c k resultanZ ∞−∞x (t) e −j2π f t dt, (2.29)c k = 1 T 0X (k f 0 ) . (2.30)Combinando (2.30) con (2.26), ˜x (t) puede escribirse en función de X ( f ) como˜x (t) ==∞∑k=−∞1T 0X (k f 0 ) e j2πk f 0t∞∑ X (k f 0 ) e j2πk f0t f 0 (2.31)k=−∞ya que f 0 = 1/T 0 . Cuando T 0 → ∞, ˜x (t) se aproxima a x (t), y por lo tanto, (2.31) es unarepresentación de x (t) . Además, f 0 → 0 cuando T 0 → ∞, y entonces el miembro derechode (2.31) se convierte en una integral. Esto puede apreciarse interpretando gráficamentela ecuación (2.31) como se muestra en la Fig. 2.13. Cada término de la sumatoria es el áreade un rectángulo de altura X (k f 0 ) e jk2π f 0t y ancho f 0 (como t no es una “variable” en esteanálisis se está calculando el valor de ˜x (·) para un valor determinado de su argumento).Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011