Transformada de Fourier

114 2. Análisis de FourierFig. 2.33. Detalles de la función Φ T0, M(x) para M impar (a) y M par (b) .Recordando que Σ N k=0 ρk = (ρ N+1 − 1)/(ρ − 1), se tiene queΦ T0 ,2N+1 ( f ) =12N + 1= e−j2πNT 0 f2N + 1= e−j2πNT 0 f2N + 1=12N + 1que se puede generalizar comoN∑ e 2πkT 0 f=k=−N2N∑ e 2π(k−N)T 0 f= e−j2πNT 0 f2N + 1k=02N∑ e 2πkT 0 fk=0e 2π(2N+1)T 0 f − 1e 2πT 0 f− 1hie 2π(2N+1)T 0 f /2e 2π(2N+1)T 0 f /2 − e −2π(2N+1)T 0 f /2e 2πT 0 f /2 e 2πT 0 f /2− e −2πT 0 f /2sen [πT 0 (2N + 1) f ].sen (πT 0 f )Φ T0 ,M (x) = sen(πT 0Mx)M sen (πT 0 x) . (2.68)donde M puede ser un número par o impar, y el cambio de variable f por x permite independizarsede la interpretación frecuencial. Esta función, que aparecerá frecuentementea lo largo del curso, se denomina kernel (o núcleo) de Dirichlet (Fig. 2.33).Para los x que son múltiplos de 1/T 0 ˙= f 0 tanto el numerador como el denominador seanulan. Aplicando l’Hôpital, se encuentra queΦ T0 ,M (x)| x=k/T0= cos(πMk)cos(πk) ,M ∈ N, k ∈ Zy entoncesΦ T0 ,M (x)| x=k/T0=(1, k ∈ Z, M impar,(−1) k ,k ∈ Z, M par,como se muestra en la Fig. 2.33(a) y Fig. 2.33(b), respectivamente. También es evidente de(2.68) que la función Φ T0 ,M (x) es periódica, de período 1/T 0 si M es impar, y de períodoProcesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011