Transformada de Fourier

More documents

Recommendations

Info

2.3. La transformada de Fourier 101irrelevante la forma del pulso que forme la sucesión. Otra representación interesante seobtiene a partir de definir el impulso como el límite de un sinc,δ (t) = líma→∞sen atπtque permite “demostrar” (Papoulis, 1962) queZ ∞−∞cos 2π f t d f =Z ∞−∞e j2π f t d f = δ (t) . (2.52)Las diferentes propiedades de los impulsos pueden determinarse directamente a partirde las definiciones (2.50) y (2.51). En un sentido matemático estricto estas definicionescarecen de sentido si se piensa δ (t) como una función común y corriente; tal es el caso,por ejemplo, de la ecuación (2.51), con la interpretación de Riemann de la integral. Encambio estos problemas matemáticos desaparecen si se piensa en el impulso como unafunción generalizada o una distribución.PropiedadesEl impulso δ (t) tiene varias propiedades interesantes que son consecuencias directas delas reglas (2.50)–(2.51) que lo definen. Entre ellas se destacan:1. La función delta es par: δ (t) = δ (−t) .2. El escalado de la variable independiente resulta en un escalado del área del pulsoδ (at) = 1|a| δ (t) ,como se desprende inmediatamente de analizar una sucesión de pulsos (como losde la Fig. 2.21) escalados en el tiempo.3. La integral del producto de una función x (t) cualquiera, continua en t 0 , y un impulsoδ (t − t 0 ) es igual a x (t 0 ):Z ∞−∞x (t) δ (t − t 0 ) dt = x (t 0 ) . (2.53)Esta relación se conoce como propiedad de criba o de “colador” del impulso, ya quesólo “deja pasar” el valor que toma x (t) cuando se evalúa en la abscisa dondeestá ubicado el impulso. Es frecuente definir el producto de una función cualquieray una distribución por la integral de la ecuación (2.53), de modo que si x (t) escontinua,x (t) δ (t − t 0 ) = x (t 0 ) δ (t − t 0 ) .En general, el producto de dos distribuciones es indefinido.4. Ya que el impulso es una función par, se puede reescribir la ecuación (2.53) de formasimilar a la integral de convolución,Z ∞−∞x (t) δ (t 0 − t) dt = x (t 0 ) , es decir x (t) ∗ δ (t) = x (t) .Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
102 2. Análisis de FourierFig. 2.22. Transformada de Fourier de un impulso.de modo que la convolución de cualquier función con un impulso da como resultadola misma función original (propiedad de replicación del impulso). Si el impulsoestá desplazado en t 0 ,x (t) ∗ δ (t − t 0 ) =Z ∞−∞= x (t − t 0 ) .x (τ) δ [(t − t 0 ) − τ] dτ =Z ∞−∞x (t − τ) δ (τ − t 0 ) dτes decir que la convolución de una función continua con un impulso desplazadoresulta en un desplazamiento de la función original.5. De manera más general, la Propiedad 4 puede generalizarse para la convolución dedos impulsos:δ (t − t 1 ) ∗ δ (t − t 2 ) = δ [t − (t 1 + t 2 )] .6. El impulso y la función escalón unitariou(t) = 1 + sgn(t)2=(1, t > 0,0, t < 0,donde u(0) toma cualquier valor finito, están relacionados poru(t) =Z t−∞δ (s) ds,du(t) = δ(t).dt7. Para cualquier señal x (t) ,Z ∞−∞x (t) dndn t=0δ (t) dt = (−1)ndtn dt n x (t) .2.3.5. Aplicaciones del impulsoLa aplicación de las propiedades anteriores permite obtener directamente la transformadade Fourier de muchas señales importantes.EJEMPLO 2.12. Transformada de un impulsoLa transformada de Fourier de la función impulsiva x (t) = K δ (t) se obtiene a partir de la Propiedad(3):X ( f ) =Z ∞−∞K δ (t) e −j2π f t dt = K e 0 = K.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
Page 1 and 2: 82 2. Análisis de FourierFig. 2.9.
Page 3 and 4: 84 2. Análisis de FourierFig. 2.11
Page 13 and 14: 94 2. Análisis de Fourierfunción
Page 19: 100 2. Análisis de FourierFig. 2.2
Page 25: 106 2. Análisis de FourierHaciendo
Page 28 and 29: 2.4. Señales periódicas y la tran
Page 36 and 37: 2.5. Propiedades de la transformada

Transformada de Fourier

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?