Transformada de Fourier

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2.5. Propiedades de la transformada de Fourier 131Fig. 2.46. Esquema para el cálculo simultáneo de la transformada de Fourier de dos señalesreales.2.5.11. Diferenciación e integraciónSi x (t) es una señal con transformada de Fourier X ( f ) , diferenciado ambos lados de laecuación de síntesis se obtienedx (t)dt=Z ∞−∞que establece el par transformadoZd∞dt X ( f ) ej2π f t d f = j2π f X ( f ) e j2π f t d f ,−∞dx (t)dt⇔ j2π f X ( f ) . (2.82)Esta es una propiedad particularmente importante porque reemplaza la operación dediferenciación en el dominio temporal por una multiplicación por j2π f en el dominiofrecuencial, lo que facilita el análisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo descriptospor ecuaciones diferenciales.Ya que la diferenciación en tiempo corresponde a una multiplicación por j2π f en el dominiofrecuencial, uno puede esperar que la integración involucre la división por j2π fen el dominio frecuencial. La relación precisa esZ t−∞x (τ) dτ ⇔ 1j2π f X ( f ) + 1 X (0) δ ( f ) . (2.83)2El impulso en la expresión de la transformada refleja el comportamiento de continua ovalor promedio que puede resultar por la integración.EJEMPLO 2.31. Transformada de un escalón unitarioAplicando la Propiedad 2.5.9 de descomposición de ondas, se calculará la transformada de Fourier delescalón unitario que se muestra en la Fig. 2.47, donde se ha graficado la descomposición par-imparde u (t), que puede escribirse comou (t) = u e (t) + u o (t) = 1 2 + u (t) − 1 ,2con u e (t) = 1/2 y u o (t) = u (t) − 1/2. Consideremos primero la parte impar u o (t). Comou ′ o (t) = u ′ (t) = δ (t), de la propiedad de diferenciación se obtieneδ (t) = du o (t)dt⇔ 1 = j2π f U o ( f ) ,Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
132 2. Análisis de FourierFig. 2.47. Propiedades de integración y de derivación.ya que la transformada de Fourier del impulso es 1. Entonces,U o ( f ) = 1j2π f . (2.84)Obsérvese que, de acuerdo a la Propiedad 2.5.8 sobre las funciones impares, al ser u o (t) impar y realsu transformada de Fourier U o ( f ) debe ser imaginaria pura e impar, lo que es evidente de (2.84).La parte par de u (t), que se nota u e (t), es una señal constante de amplitud 1/2, y por lo tanto sutransformada de Fourier es un impulso en f = 0. Específicamente,u e (t) = 1 2⇔ U e ( f ) = 1 2 δ ( f ) , (2.85)y combinando las transformadas de la parte impar (2.84) y de la parte par (2.85) de u (t), resultael par transformado1u (t) ⇔j2π f + 1 2 δ ( f ) . (2.86)Este resultado también puede obtenerse a partir de la propiedad de integración. Si h (t) = δ (t), laintegral de h (t) es u (t) , y como H ( f ) = 1, la propiedad de integración (2.83) permite obtenerdirectamente (2.86). Observe que el término impulsivo en (2.86) se debe exclusivamente al valor decontinua no nulo de u (t).Finalmente, notemos que se puede aplicar la propiedad de diferenciación para recuperar el valor dela transformada del impulso a partir de la transformada del escalón unitario. En efecto, diferenciando(2.86),δ (t) =ya que 2π f δ ( f ) = 0.du (t)dt⇔j2π f 1j2π f + δ ( f ) = 1 + j2π f δ ( f ) = 1Transformadas de funciones polinomiales a tramosUna aplicación especial de la propiedad de derivación es la obtención de transformadasde funciones polinomiales a tramos. Las derivadas de estas funciones contienen impulsosProcesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
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