Transformada de Fourier

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2.5. Propiedades de la transformada de Fourier 127Fig. 2.44. Propiedad de descomposición de ondas.Las ecuaciones (2.74) y (2.75) son las definiciones de funciones pares e impares, respectivamente.En consecuencia, en base a las propiedades anteriores, la transformada deFourier de (2.73) esX ( f ) = R ( f ) + jI ( f ) = X e ( f ) + X o ( f ) ,donde X e ( f ) = R ( f ) y X o ( f ) = jI ( f ). Más adelante se verá que esta descomposiciónpuede utilizarse para acelerar el cálculo de la transformada de Fourier.EJEMPLO 2.28. Descomposición de ondasPara demostrar el concepto de la descomposición de formas de onda, consideremos la funciónexponencialx (t) = βe −αt , α > 0, t ≥ 0. (2.76)Procediendo como en (2.73), se obtienex (t) = β 2 e−αt + β 2 e−αt = β he −αt i2 t≥0 + eαt + β ht≤0 2= β 2 e−α|t| + β he −αt i2 t≥0 − eαt t≤0= x e (t) + x o (t),e −αt t≥0 − eαt t≤0idondex e (t) = β 2 e−α|t| , x o (t) = β 2he −αt t≥0 − eαt t≤0i.La Fig. 2.44 muestra la descomposición en funciones pares e impares. El espectro de la función (2.76)ya fue calculado en el Ejemplo 2.5; la descomposición de ondas permite calcular sin gran esfuerzoel espectro X e ( f ) de x e (t) y X o ( f ) de x o (t) . Como x e (t) es par, de acuerdo a la Propiedad 2.5.7su espectro es real, y como x o (t) es impar su espectro es imaginario (Propiedad 2.5.8). A su vez,Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
128 2. Análisis de FourierFig. 2.45. (a) Pulso exponencial creciente x(t) = βe αt , α > 0, t < 0. (b) Representaciónmódulo/fase y (c) parte real/imaginaria de la transformada de Fourier (compararcon la Fig. 2.14).X ( f ) = X e ( f ) + X o ( f ) . En consecuencia,x e (t) ⇔ X e ( f ) = Re [X ( f )] =βαa 2 + (2π f ) 2 ,x o (t) ⇔ X o ( f ) = j Im [X ( f )] = −jβ2π fα 2 + (2π f ) 2 .EJEMPLO 2.29. Transformada de un pulso exponencial crecienteLa descomposición de ondas también puede utilizarse para calcular el espectro del pulso exponencialcreciente(e αt , t ≤ 0, α > 0,y (t) =0, t > 0.Haciendo referencia a las funciones x e (t) y x o (t) del Ejemplo previo, es evidente que y (t) =2x e (t) − x (t), y en consecuencia, Y ( f ) = 2X e ( f ) − X ( f ) . ComoresultaX ( f ) =X e ( f ) =aa 2 + (2π f ) 2 − j 2π fa 2 + (2π f ) 2 ,aa 2 + (2π f ) 2 ,Y ( f ) = 2X e ( f ) − X ( f )=aa 2 + (2π f ) 2 + j 2π fa 2 + (2π f ) 2= X ∗ ( f )de modo que el espectro del pulso exponencial creciente es el conjugado del espectro del Ejemplo2.5, es decir que se invierte el signo de la fase (Fig. 2.45). Compare con el espectro de X ( f ) quese muestra en la Fig. 2.14.2.5.10. Propiedades para funciones complejasPara simplificar la presentación, hasta el momento sólo se han considerado funcionestemporales que toman valores reales. La transformada de Fourier, la transformada inversay sus propiedades son aplicables también para el caso en que h (t) sea una funcióntemporal que tome valores complejos. Six (t) = x r (t) + jx i (t) ,Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011
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