Transformada de Fourier

116 2. Análisis de Fouriercomo se muestra en la Fig. 2.34 para distintos valores de N. En efecto, tal como fue detalladoen el análisis de la función Φ T0 ,2N+1 ( f ) , esta función tiene 2N ceros por período. Demodo que a medida que N → ∞ la función será virtualmente nula en todo el período,excepto en aquellos puntos donde se anulen simultáneamente el numerador y denominadorde la función, que, tal como fue explicado precedentemente, ocurre para múltiplosenteros de 1/T 0 .Debe tenerse en cuenta que, mientras N sea finito, la función temporal no será periódica,de modo que, aunque τ → 0, la transformada de Fourier de 2N + 1 pulsos se asemeja alas gráficas de la Fig. 2.34, y no precisamente a un tren de impulsos. Además, a medidaque el número de pulsos aumenta, se incrementa proporcionalmente el valor medio dela señal, y en consecuencia el valor de la transformada en f = 0 es 2N + 1, tal como seaprecia en la Fig. 2.34.Finalmente, en el caso que N → ∞, la función temporal es periódica, la función Φ ( f )converge a un tren de impulsos periódicos, y en consecuencia, se comprueba la validezde la relación (2.63). La convergencia de funciones continuas como las Φ T0 ,2N+1(x) a unafunción discontinua como el tren de impulsos se estudiará en la Sección 2.7.2.5. Propiedades de la transformada de FourierUn conjunto de propiedades de las transformadas de Fourier son básicas en el tratamientode señales. Tan importante como el conocimiento matemático de las mismas es unaadecuada interpretación visual. En esta sección se desarrollará no sólo la teoría de lospares transformados básicos, sino también se hará especial hincapié en el significado deestas propiedades. Para ellos se utilizarán muchos ejemplos analíticos y gráficos.2.5.1. LinealidadSi x (t) e y (t) tienen transformadas de Fourier X ( f ) e Y ( f ), respectivamente, entoncesla suma ax (t) + by (t) donde a, b son números complejos, tiene transformada de FourieraX ( f ) + bY ( f ). Esta propiedad se deduce fácilmente:Z ∞−∞[a x (t) + b y (t)] e −j2π f t dt =lo que permite obtener el par transformadoZ ∞−∞a x (t) e −j2π f t dt += a X ( f ) + b Y ( f ) ,a x (t) + b y (t) ⇔ a X ( f ) + b Y ( f ) .Z ∞−∞b y (t) e −j2π f t dtEsta relación es importante porque refleja la posibilidad de aplicar la transformada deFourier al análisis de sistemas lineales.EJEMPLO 2.20. Propiedad de linealidadDados los pares transformados de Fourierx (t) = K ⇔ X ( f ) = Kδ (t) ,y (t) = A cos (2π f 0 t) ⇔ Y ( f ) = A 2 δ ( f − f 0) + A 2 δ ( f + f 0) .Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011