Transformada de Fourier

2.4. Señales periódicas y la transformada de Fourier 105Fig. 2.25. (a) Onda cuadrada periódica ˜x (t); (b)—(c) dos señales aperiódicas cada una de lascuales coincide con ˜x (t) sobre intervalos diferentes de longitud T 0 .cualquier valor de s, y no necesariamente el valor s = −T 0 /2 utilizado en (2.54) y (2.28).Esto no significa que la transformada X ( f ) es la misma para todos los valores de s perosí que el conjunto de muestras X (k/T 0 ) es independiente de s, como se muestra en elsiguiente ejemplo.EJEMPLO 2.14. Coeficientes de la serie de Fourier a partir de la transformadaSea ˜x (t) la señal cuadrada periódica de período T 0 que se muestra en la Fig. 2.25. Sean x 1 (t)y x 2 (t) dos señales aperiódicas que coinciden con ˜x (t) sobre diferentes intervalos de tiempo delongitud T 0 .La transformada de Fourier de x 1 (t) es:X 1 ( f ) =Z ∞−∞x 1 (t) e −j2π f t dt =Z τ/2−τ/2e −j2π f t dt =−1 j2π f e−j2π f t τ/2−τ/2= 1 sin (πτ f ) = τ sinc(τ f ). (2.57)π fLa transformada de Fourier de x 2 (t) esta dada porX 2 ( f ) =Z ∞−∞= −1j2π f=e−jπτf /2−j2π fx 2 (t) e −j2π f t dt =Z τ/2e −j2π f τ/2 − 1 + −10e −j2π f t dt +Z T0T 0 −τ/2j2π f e−j2π f T 0e −jπτ f /2 − e jπτ f /2 + e−j2π (T 0−τ/4) fe −j2π f t dtj2π f1 − eτ/2e −jπτ f /2 jπτ f− e/2−j2π f= 1π f sin (πτ f /2) e −jπτ f /2 + e −j2π(T 0−τ/4) f. (2.58)Comparando (2.57) con (2.58) se advierte que las dos transformadas no son iguales: mientras queX 1 ( f ) es real X 2 ( f ) es compleja. Sin embargo, para las frecuencias f k = k/T 0 , (2.58) se puedeescribir k 1X 2 =T 0 π (k/T 0 ) sin πτ k e −jkπτ/(2T0) + e −jk2π[1−τ/(4T 0)]T 0=2π (k/T 0 ) sin πτ k cos2T 0πτ k2T 0.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011