Transformada de Fourier

124 2. Análisis de FourierFig. 2.41. (a) Cálculo de la transformada directa de Fourier. (b) Cálculo de la transformadainversa utilizando el mismo algoritmo que para el cálculo de la transformada directa.donde X ∗ ( f ) es el complejo conjugado de X ( f ). La verificación de la propiedad es trivial: Z ∞ ∗X ∗ ( f ) e −j2π f t d f =−∞==Z ∞−∞Z ∞−∞Z ∞−∞= x (t) .hX ∗ ( f ) e −j2π f ti ∗d f[X ∗ ( f )] ∗ e −j2π f t ∗d fX ( f ) e j2π f t d fLa importancia de la formulación alternativa es que ahora tanto la transformada de Fouriercomo la transformada inversa comparten el mismo término e −j2π f t (es decir, tienen elmismo núcleo o kernel). Esta similaridad es de considerable importancia en el desarrollode programas que permitan calcular de manera rápida la transformada de Fourier. Observeque si se dispone de un algoritmo que calcule la transformada directa de Fourier, elmismo algoritmo puede utilizarse para calcular la transformada inversa: basta con ingresarcomo dato el conjugado de la transformada Y ∗ ( f ) , y conjugar el resultado entregadopor el algoritmo para obtener la antitransformada x (t) , como se muestra en la Fig. 2.41.2.5.7. Funciones paresSi x e (t) es una función par del tiempo, es decir x e (t) = x e (−t), entonces la transformadade Fourier de x e (t) es una función par y real:x e (t) ⇔ R e ( f ) =Z ∞−∞x e (t) cos (2π f t) dt.Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011