Transformada de Fourier

122 2. Análisis de FourierEl espectro de x 2 (t) es X 2 ( f ) = e −j2π f (T 0/8) X 1 ( f ). Operando se encuentra queX 2 ( f ) = e −j2π f (T 0/8) [(A/2)δ( f + f 0 ) + (A/2)δ( f − f 0 )]= (A/2)e −j2π(− f 0)(T 0 /8) δ( f + f 0 ) + (A/2)e −j2π( f 0)(T 0 /8) δ( f − f 0 )= (A/2)e jπ/4 δ( f + f 0 ) + (A/2)e −jπ/4 δ( f − f 0 ) √ √ √ √ = A 24+ jA 24δ( f + f 0 ) + A 24− jA 24δ( f − f 0 ).De manera similar puede encontrarse que para x 3 (t) = x 1 (t − T 0 /4) es X 3 ( f ) = e −j2π f (T 0/4) X 1 ( f ),de dondeX 3 ( f ) = j A 2 δ( f + f 0) − j A 2 δ( f − f 0),como se muestra en la Fig. 2.39(c) . Finalmente,Por lo tanto,como ilustra la Fig. 2.39(d) .x 4 (t) = x 1 (t − T 0 /2) = A cos [2π f 0 (t − T 0 /2]= A cos(2π f 0 t − π) = −A cos(2π f 0 t − π) = −x 1 (t).X 4 ( f ) = e −j2π f (T 0/2) X 1 ( f )= e −jπ f T 0(A/2)δ( f + f 0 ) + e −jπ f T 0(A/2)δ( f − f 0 )= − A 2 δ( f + f 0) − A 2 δ( f − f 0),Los casos presentados revelan que el corrimiento temporal resulta en un cambio de fase θ ( f ) =arctan [Im ( f ) /Re ( f )] , sin alterar el módulo de la transformada de Fourier.2.5.5. Desplazamiento frecuencial (modulación)Si X ( f ) se desplaza en frecuencia f 0 Hz, su transformada inversa queda multiplicada pore j2π f 0t :x (t) e j2π f 0t⇔ X ( f − f 0 ) . (2.72)Este par transformado puede obtenerse sustituyendo s = f − f 0 en la ecuación de síntesisZ ∞−∞X ( f − f 0 ) e j2π f t d f =Z ∞−∞= e j2π f 0tX (s) e j2πt(s+ f 0) dsZ ∞−∞= e j2π f 0t x (t) .X (s) e −j2πt s dsEJEMPLO 2.25. Propiedad de modulaciónPara ilustrar el efecto del desplazamiento en frecuencia, supongamos que la función x 1 (t) es real,como muestra la Fig. 2.40(a) , y que su espectro X 1 ( f ) se desplaza en frecuencia ± f 0 unidades aizquierda y derecha del origen, respectivamente, atenuando su amplitud a la mitad [Fig. 2.40(b)].Este nuevo espectro X 2 ( f ) está dado entonces porX 2 ( f ) = 1 2 X 1 ( f + f 0 ) + 1 2 X 1 ( f − f 0 ) ,Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011