Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 97En los ejemplos anteriores, la existencia de la transformada de Fourier estaba aseguradapues la función temporal satisface la CONDICIÓN 1. Ya se ha observado que debido a lasimetría entre las ecuaciones que permiten calcular la transformada a partir de la señaly viceversa –véanse las ecuaciones (2.32) y (2.33)– la versión dual de la CONDICIÓN 1establece que una condición suficiente para la existencia de la transformada inversa (2.32)es que la transformada X ( f ) sea absolutamente integrable. En efecto, si R ∞−∞|X ( f )| d f λ > 0 la función x (t) /t es absolutamenteintegrable [ecuación (2.43)], entonces X ( f ) existe y tiene transformada inversade Fourier (2.32).Para el caso de la transformada del Ejemplo 2.6 la condición homóloga a la CONDICIÓN 2(es decir, intercambiando los roles de las variables t y f ) se satisface eligiendo t = 0,η = π/2, y ρ ( f ) = β/(α + j2π f ). Es evidente que |x( f )/ f | es absolutamente integrablepara | f | > λ > 0. Un caso dual al de la transformada de Fourier X( f ) del Ejemplo 2.10se estudia en el Ejemplo 2.11, que trata de la función temporal sin (at) / (at), que no esabsolutamente integrable, y por lo tanto no cumple con la CONDICIÓN 1.EJEMPLO 2.11. Transformada de una función del tipo sin (at) / (at)El gráfico de la funciónsen (2π fx (t) = 0 t)2A f 0 ,2π f 0 tse muestra en la Fig. 2.20. Esta función cumple con los requisitos pedidos por la Condición 2,con ρ (t) = 2A f 0 / (2π f 0 t), η = 0. Además, x (t) /t cumple con las condiciones de integrabilidadexigidas, ya queZ ∞x (t) t dt < 2A f Z ∞01 2π f 0 t 2 dt = A πλ < ∞.λλProcesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011