Transformada de Fourier

2.3. La transformada de Fourier 87donde j = √ −1. Si se satisface (2.34), entonces X ( f ) está bien definida, ya queZ ∞|X ( f )| = x (s) e −j2π f s Z ∞ Zds < x (s) e −j2π f s ∞ds = |x (s)| ds < ∞ (2.36)−∞−∞pues e−j2π f s = 1. La función X ( f ) es la transformada de Fourier de x(·), y queda definidade manera única por (2.35). Se dice que la función X(·) está definida en el dominio frecuencialo dominio transformado, mientras que la función x(·) original está definida en eldominio espacial si s es una coordenada espacial (con dimensiones de longitud), o en eldominio temporal si x(·) es una función dependiente del tiempo (s = t), lo que será elcaso habitual. De importancia fundamental es el hecho que también existe una relacióninversa entre x(·) y X(·), dada porx (s) =Z ∞−∞−∞X ( f ) e j2π f s d f , −∞ < f < ∞. (2.37)Esta relación permite obtener x(·) como la transformada inversa de Fourier de X(·). En laecuación (2.37) f es una variable “muda”, que toma todos los valores desde −∞ a ∞ amedida que se calcula la integral; la verdadera variable es s. Lo contrario ocurre en laecuación (2.35), donde s es la variable muda de integración, y f la variable de la función.La transformada de Fourier tiene una interpretación física. El kernel o núcleo de la transformadade Fourier es el término e −j2π f s (el de la transformada inversa es e j2π f s ); aplicandola fórmula de Euler estos núcleos pueden escribirse comoe ±j2π f s = cos (2π f s) ± j sen (2π f s) .Para el caso de la ecuación (2.35) y para cada valor fijo de f , el núcleo consiste de ondas(senos y cosenos) con un período o longitud de onda T = 1/ f , medido en las unidadesde s (ya sean longitud o tiempo). Estas ondas se llaman modos. Análogamente, los modoscorrespondientes a un valor fijo de f tienen una frecuencia de f períodos por unidadde longitud, o ciclos por unidad de tiempo: la combinación ciclos por segundo se llamaHertz, abreviado Hz.La transformada inversa de Fourier (2.37) puede verse como una “receta” para recuperarel valor de la función x (·) en un punto t a partir de una combinación de modos de todaslas frecuencias −∞ < f < ∞. El modo asociado con una frecuencia particular f tiene uncierto “peso” en esta combinación y ese peso está dado por X ( f ). Este proceso de “construir”una función a partir de sus modos recibe frecuentemente el nombre de síntesis:dados los pesos de los modos X ( f ), se puede generar la función x (·) para cada valor det que se desee. El conjunto completo de valores de X (·) se denomina el espectro de x (·),ya que expresa el contenido frecuencial completo de la función o señal x (·). Igualmenteimportante es el proceso opuesto, denominado análisis: dada la función x (·) se puede encontrarqué “cantidad” X ( f ) del modo de frecuencia f está presente en x (·) , aplicandola transformada directa (2.35).EJEMPLO 2.5. Transformada directaLa función temporal (exponencial decreciente)x (t) =(βe −αt , t ≥ 0,0, t < 0,(2.38)Procesamiento Digital de Señales U.N.S. 2011